Disequazione con "ceiling"

[salemgold]

Ciao a tutti,

Qualcuno mi può confermare che ho risolto correttamente la seuente disequazione? Non ne avevo mai viste di questo tipo e noto una cosa strana nel mio ragionamento.

\[ \left\lceil \frac{a}{x}\right\rceil \leq \frac{a }{b} \]
dove $a$ e $b$ sono parametri interi positivi, e $x \in R$ è l'incognita.$\ceil x $ è la ceiling function, che arrotonda $x$ all'intero successivo (se $x$ non è intero).

Ho tre casi:
- Se $b$ divide $a$, basta scegliere $x \geq b$.
- Supponiamo $b < a$. Se $b$ non divide $a$, $\frac{a }{b} = n + q$, con $n \in N$ intero e $q \in Q$ razionale. Quindi $b$ come soluzione non va più bene, perché otterrei \[\left\lceil \frac{a}{x}\right\rceil = n + 1\].
Devo scegliere $x$ in modo che $\frac{a}{x} \leq n$, quindi $x \geq \frac{a}{n}$.
- Se $b>a$, $a/b < 1$, quindi ho bisogno che $a/x$ sia negativo, quindi $x<0$.

Cosa strana:
nei miei primi due casi, ottengo $x$ maggiore di una quantità positiva. Ma anche $x<0$ dovrebbe andare bene!

[dissonance]

Nel primo caso c'è un problema e non è questione di ceiling. Anche la disequazione
\[
\frac{a}{x}\le \frac{a}{b}\] 
ha per soluzione \(x\ge b \) oppure \(x<0\). (Qui suppongo che \(a, b>0\)). Difatti
\[
\frac{1}{x}\le \frac{1}{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x\ge 0 & x\ge b \\ x<0 & x\le b\end{cases} , \]
perché per risolvere bisogna moltiplicare per \(x\) ambo i membri, il che inverte il segno di una disuguaglianza se \(x<0\). Siccome \(b\ge 0\), la seconda condizione si riduce a \(x<0\).

[salemgold]

Grazie!

Per il resto, è questo il ragionamento usuale per questo tipo di disequazioni, o ci sono dei metodi più meccanici?

[dissonance]

Buh, non penso che qualcuno si sia messo a scrivere una teoria sistematica di queste cose (ma potrei benissimo sbagliarmi).

In ogni caso la tua soluzione è corretta, secondo me.