Disequazione con l'uso delle derivate

[Newton_1372]

Per quali x vale la seguente:
$e^x<= 1/(1-x)$

TENTATIVO DI RISOLUZIONE
Per x>1 la quantità è strettamente positiva.

Per 0 $D=e^x-1/(1-x)^2$
E chiamiamo
$f'(x) = e^x$
$g'(x) = 1/(1-x)^2$
Per l'intervallo 0-1 le due funzioni f(x) e g(x) sono entrambi crescenti (le derivate sono entrambe positive). Calcolando le derivate seconde, si trova che sia f che g sono entrambe concave. Ora avendosi
$f'(0)=g'(0)=1 e f'(1)=e<\lim_{x\to 1} g'(x) = \infty$ potrei dedurre che f'(x)

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Risposte

Newton_1372

12 gen 2011, 19:16

xup

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Rigel1

12 gen 2011, 20:08

Dopo 175 messaggi dovresti sapere quali sono le regole per gli up.

In via del tutto eccezionale, e in attesa che qualche mod blocchi il thread , ti suggerisco di studiare la funzione
$g(x) = e^x(1-x) -1$ per $x<1$.

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Newton_1372

12 gen 2011, 21:54

Questo ho già tentato di farlo...il mio problema è proprio che non riesco a risolvere disequazioni di questo tipo...verrebbe
$e^x(1-x)-1>=0\implies e^x(1-x)>=1\implies e^x(1-x)>=\log e\implies e^x>=\log e^{1/(1-x)}\implies x>=log(log e^{1/(1-x)})$...non ho idea di come procedere...

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Lorin1

12 gen 2011, 22:02

Puoi provare con la risolzione grafica, cioè se $e^x<=1/(1-x)$ è la disequazione che ti dà problemi, basta disegnare il grafico della funzione esponenziale (che per fortuna è noto) e disegnare il grafico di $1/(1-x)$ e metterli su un solo grafico e vedere per quali valori di x è vera la disequazione. Osserva però che succede anche per $x=0$

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Newton_1372

12 gen 2011, 22:16

Questo che voi chiamate metodo grafico non è un pò "barare"? Anche qui, credo che se il mio prof l'ha messo come esercizio, DEVE esserci un modo analitico per risolverlo...:S :(:(

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Lorin1

12 gen 2011, 22:59

Perchè dici barare?!
Mica imbrogliamo sull'insieme delle eventuali soluzioni?
E' semplicemente un metodo che permette di studiare le equazioni e disequazioni miste, quelle in cui non è possibile applicare i classici metodi di studio: studio del discriminante, scomposizioni, messe in evidenza, Ruffini ecc...
Certo con questo metodo spesso non si riesce ad ottenere una soluzione precisa, infatti le soluzioni sono approssimate; ma è molto utile per capire se valgono o meno alcune condizioni, imposte ad esempio da disequazioni.

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Newton_1372

12 gen 2011, 23:02

Si ok...ma voi dite che nel capitolo sulle derivate con l'esempio immediatamente precedente che usa il metodo analitico il prof voleva che applicassimo il metodo grafico? Mi chiedevo se cvi fosse qualche via analitica...per esempio quella che ho proposto io nel primo post...c'è qualche errore o va bene? Se va bene, come posso continuare?

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itpareid

13 gen 2011, 07:37

"newton_1372":Si ok...ma voi dite che nel capitolo sulle derivate con l'esempio immediatamente precedente che usa il metodo analitico il prof voleva che applicassimo il metodo grafico?

l'unico modo per saperlo è chiederlo a lui direttamente

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Rigel1

13 gen 2011, 07:55

@newton:
Non capisco dove trovi difficoltà a studiare la funzione $g(x) = e^x(1-x) -1$.

Hai che $g'(x) = e^x(1-x) - e^x = -x e^x$; di conseguenza $g'(x) > 0$ per $x<0$ e $g'(x) < 0 $ per $x>0$, da cui deduci subito che $x=0$ è punto di massimo assoluto per $g$. Di conseguenza $g(x) \le g(0) = 0$ per ogni $x$.

[Ben due righe di svolgimento...]

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pater46

13 gen 2011, 08:31

"newton_1372":Questo che voi chiamate metodo grafico non è un pò "barare"? Anche qui, credo che se il mio prof l'ha messo come esercizio, DEVE esserci un modo analitico per risolverlo...:S :(:(

Quello che viene detto "metodo grafico" è uno strumento in grado di aiutarti a risolvere approssimativamente le equazioni trascendenti, ovvero del tipo postato da te.
Non esistono metodi analitici per risolverle.

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Newton_1372

13 gen 2011, 09:37

:S O mio Dio quanto mi stavo complicando la vita!:S eh...nel grafico risulterebbe un minimo realtivo positivo...
Ragazzi aiuto...le equazioni
$e^x-1/(1-x)=0$ e $e^x-xe^x-1=0$ seppure siano del tutto equivalenti (tranne che il dominio, dove manca l'1 nella prima ovviamente) DANNO GRAFICI DIVERSI...ok sono impazzito...

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xup

[Rigel1]

Dopo 175 messaggi dovresti sapere quali sono le regole per gli up.

In via del tutto eccezionale, e in attesa che qualche mod blocchi il thread , ti suggerisco di studiare la funzione
$g(x) = e^x(1-x) -1$ per $x<1$.

[Newton_1372]

Questo ho già tentato di farlo...il mio problema è proprio che non riesco a risolvere disequazioni di questo tipo...verrebbe
$e^x(1-x)-1>=0\implies e^x(1-x)>=1\implies e^x(1-x)>=\log e\implies e^x>=\log e^{1/(1-x)}\implies x>=log(log e^{1/(1-x)})$...non ho idea di come procedere...

[Lorin1]

Puoi provare con la risolzione grafica, cioè se $e^x<=1/(1-x)$ è la disequazione che ti dà problemi, basta disegnare il grafico della funzione esponenziale (che per fortuna è noto) e disegnare il grafico di $1/(1-x)$ e metterli su un solo grafico e vedere per quali valori di x è vera la disequazione. Osserva però che succede anche per $x=0$

[Newton_1372]

Questo che voi chiamate metodo grafico non è un pò "barare"? Anche qui, credo che se il mio prof l'ha messo come esercizio, DEVE esserci un modo analitico per risolverlo...:S :(:(

[Lorin1]

Perchè dici barare?!
Mica imbrogliamo sull'insieme delle eventuali soluzioni?
E' semplicemente un metodo che permette di studiare le equazioni e disequazioni miste, quelle in cui non è possibile applicare i classici metodi di studio: studio del discriminante, scomposizioni, messe in evidenza, Ruffini ecc...
Certo con questo metodo spesso non si riesce ad ottenere una soluzione precisa, infatti le soluzioni sono approssimate; ma è molto utile per capire se valgono o meno alcune condizioni, imposte ad esempio da disequazioni.

[Newton_1372]

Si ok...ma voi dite che nel capitolo sulle derivate con l'esempio immediatamente precedente che usa il metodo analitico il prof voleva che applicassimo il metodo grafico? Mi chiedevo se cvi fosse qualche via analitica...per esempio quella che ho proposto io nel primo post...c'è qualche errore o va bene? Se va bene, come posso continuare?

[itpareid]

"newton_1372":Si ok...ma voi dite che nel capitolo sulle derivate con l'esempio immediatamente precedente che usa il metodo analitico il prof voleva che applicassimo il metodo grafico?

l'unico modo per saperlo è chiederlo a lui direttamente

[Rigel1]

@newton:
Non capisco dove trovi difficoltà a studiare la funzione $g(x) = e^x(1-x) -1$.

Hai che $g'(x) = e^x(1-x) - e^x = -x e^x$; di conseguenza $g'(x) > 0$ per $x<0$ e $g'(x) < 0 $ per $x>0$, da cui deduci subito che $x=0$ è punto di massimo assoluto per $g$. Di conseguenza $g(x) \le g(0) = 0$ per ogni $x$.

[Ben due righe di svolgimento...]

[pater46]

"newton_1372":Questo che voi chiamate metodo grafico non è un pò "barare"? Anche qui, credo che se il mio prof l'ha messo come esercizio, DEVE esserci un modo analitico per risolverlo...:S :(:(

Quello che viene detto "metodo grafico" è uno strumento in grado di aiutarti a risolvere approssimativamente le equazioni trascendenti, ovvero del tipo postato da te.
Non esistono metodi analitici per risolverle.

[Newton_1372]

:S O mio Dio quanto mi stavo complicando la vita!:S eh...nel grafico risulterebbe un minimo realtivo positivo...
Ragazzi aiuto...le equazioni
$e^x-1/(1-x)=0$ e $e^x-xe^x-1=0$ seppure siano del tutto equivalenti (tranne che il dominio, dove manca l'1 nella prima ovviamente) DANNO GRAFICI DIVERSI...ok sono impazzito...