Disequazione con ln^2

[dky]

Scusate, ma come si risolve una disequazione con un logaritmo naturale al quadrato?
Ad esempio:

$ ln^2(x) < 4 $

[Gi81]

Prima di tutto, condizioni di esistenza.
Poi puoi porre $t= ln(x)$ ottenendo così una disequazione "standard": $t^2<4$ (che saprai certamente risolvere)

[dky]

Se non sbaglio il procedimento dovrebbe essere così:
\(\displaystyle t^2 < 4 => -4 < t < 4 => -4 < ln^2 x < 4 \)

E applicando la regola del logaritmo:

\(\displaystyle (1/2)^-4 < x < (1/2)^4 \)

[Gi81]

Sbagli. Anzi, sbagli due volte.
1) $t$ è stato posto uguale a $ln(x)$, non a $ln^2(x)$
2) non è vero che $t^2<4$ implica $-4

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[dky]

Quindi alla fine viene:

\(\displaystyle e^-2 < x < e^2 \)

Giusto?
In generale, se il logaritmo non è naturale dovrei elevare la base del logaritmo al, in questo caso, quadrato?

[Gi81]

Esatto. La disequazione \( \log_{a}\left( x \right)< k\) (con \(k \in \mathbb{R}\)) è equivalente a :

[*:17747zp9] \(x < a^{k}\) , se \(a>1\)
[/*:m:17747zp9]
[*:17747zp9] \( x > a^{k}\), se \( 0
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