Disequazione con costante
Non riesco a capire come si fa a risolvere questa disequazione:
\[
3n^2 + 10n \leq c\cdot n^2 \qquad \text{, per ogni } n \geq n_0
\]
In un esempio dice di prendere $n_0 = 1$, ma perché? E poi bisogna sostituire $n_0=1$ a $n$, trovando così il valore di $c$?
\[
3n^2 + 10n \leq c\cdot n^2 \qquad \text{, per ogni } n \geq n_0
\]
In un esempio dice di prendere $n_0 = 1$, ma perché? E poi bisogna sostituire $n_0=1$ a $n$, trovando così il valore di $c$?
Risposte
Cosa ti chiede esattamente l'esercizio?
Ciao Lollo_Rese,
Pur concordando con @gugo82 in merito alla richiesta dell'esercizio che hai proposto, provo ad ipotizzare quale potrebbe essere tale richiesta sulla base di ciò che hai scritto un po' confusamente.
La disequazione che hai proposto si può riscrivere nel modo seguente:
$(c - 3)n^2 - 10n \ge 0$
Ora questa è una disequazione di secondo grado dipendente dal parametro $c$. Se $c = 3$ l'unica soluzione possibile è $n = 0$, perciò supponiamo $c \ne 3$.
Discutiamo i restanti due casi possibili:
1) $c > 3$: in tal caso la parabola $y = (c - 3)n^2 - 10n = n[(c - 3)n - 10]$ ha la concavità verso l'alto ed interseca l'asse $x$ nei due punti $x_1 = n = 0$ e $x_2 = frac{10}{c - 3} > 0$. Dato che in base alla regola dei segni $(c - 3)n^2 - 10n$ assume il segno del coefficiente di $n^2$ [cioè $(c - 3) > 0$ in questo caso 1)] per $x \le x_1$ oppure per $x \ge x_2$ e che supponiamo $n \in \NN$, si conclude che basterà prendere per $n_0$ il primo numero naturale $\ge x_2 = frac{10}{c - 3}$ che la disequazione che hai proposto sarà verificata $AA n \ge n_0$;
2) $c < 3$: in tal caso la parabola $y = (c - 3)n^2 - 10n = n[(c - 3)n - 10]$ ha la concavità verso il basso ed interseca l'asse $x$ nei due punti $x_1 = frac{10}{c - 3} < 0$ e $x_2 = n = 0$. Dato che in base alla regola dei segni $(c - 3)n^2 - 10n$ assume il segno del coefficiente di $n^2$ [che è $(c - 3) < 0$ in questo caso 2)] per $x \le x_1$ oppure per $x \ge x_2$ e che supponiamo $n \in \NN$, si conclude che la disequazione che hai proposto sarà verificata per tutti i numeri naturali fra $x_1 = frac{10}{c - 3} < 0$ e $x_2 = n = 0$: per cui l'unica soluzione possibile è $n = 0$.
Da quello che hai scritto, ritengo che il tuo sia il caso 1), $c > 3$...
Pur concordando con @gugo82 in merito alla richiesta dell'esercizio che hai proposto, provo ad ipotizzare quale potrebbe essere tale richiesta sulla base di ciò che hai scritto un po' confusamente.
La disequazione che hai proposto si può riscrivere nel modo seguente:
$(c - 3)n^2 - 10n \ge 0$
Ora questa è una disequazione di secondo grado dipendente dal parametro $c$. Se $c = 3$ l'unica soluzione possibile è $n = 0$, perciò supponiamo $c \ne 3$.
Discutiamo i restanti due casi possibili:
1) $c > 3$: in tal caso la parabola $y = (c - 3)n^2 - 10n = n[(c - 3)n - 10]$ ha la concavità verso l'alto ed interseca l'asse $x$ nei due punti $x_1 = n = 0$ e $x_2 = frac{10}{c - 3} > 0$. Dato che in base alla regola dei segni $(c - 3)n^2 - 10n$ assume il segno del coefficiente di $n^2$ [cioè $(c - 3) > 0$ in questo caso 1)] per $x \le x_1$ oppure per $x \ge x_2$ e che supponiamo $n \in \NN$, si conclude che basterà prendere per $n_0$ il primo numero naturale $\ge x_2 = frac{10}{c - 3}$ che la disequazione che hai proposto sarà verificata $AA n \ge n_0$;
2) $c < 3$: in tal caso la parabola $y = (c - 3)n^2 - 10n = n[(c - 3)n - 10]$ ha la concavità verso il basso ed interseca l'asse $x$ nei due punti $x_1 = frac{10}{c - 3} < 0$ e $x_2 = n = 0$. Dato che in base alla regola dei segni $(c - 3)n^2 - 10n$ assume il segno del coefficiente di $n^2$ [che è $(c - 3) < 0$ in questo caso 2)] per $x \le x_1$ oppure per $x \ge x_2$ e che supponiamo $n \in \NN$, si conclude che la disequazione che hai proposto sarà verificata per tutti i numeri naturali fra $x_1 = frac{10}{c - 3} < 0$ e $x_2 = n = 0$: per cui l'unica soluzione possibile è $n = 0$.
Da quello che hai scritto, ritengo che il tuo sia il caso 1), $c > 3$...
Intanto grazie per la rapidità delle risposte! L'esercizio mi chiede di calcolare O-grande di f(n). Io per la definizione, so che [formule]0 ≤ f(n) ≤ c•g(n) per ogni n ≥ n0[/formule], ma non mi è chiaro come trovare n0 e di conseguenza c. Non credo che sia come ha detto @pilloeffe, forse devo risolvere [formule]f(n) ≤ n^2[/formule] per trovare n0 e poi sostituire il valore trovato nella disequazione [formule]f(n) ≤ c•n^2[/formule] per trovare c?
PS: ho messo g(n) = n^2 perché, per definizione, prendo solo la n di grado massimo
PS: ho messo g(n) = n^2 perché, per definizione, prendo solo la n di grado massimo
Ciao Lollo_Rese,
So di non essere un genio eh, intendiamoci, ma ti assicuro che non ci ho capito una mazza...
A questo punto mi associo decisamente al più esperto @gugo82 in merito alla richiesta di delucidazioni. In generale posso dirti che non si riesce a risolvere una disequazione in due incognite: è necessaria una discussione. A meno che tu non ci nasconda involontariamente qualche altra informazione. Incidentalmente ti faccio osservare che saresti più chiaro e ci aiuteresti se scrivessi le formule come specificato nella guida: https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html. Facendo uso del pulsante Anteprima, ti rendi conto di come appaiono le formule che hai appena scritto. Grazie.
So di non essere un genio eh, intendiamoci, ma ti assicuro che non ci ho capito una mazza...
A questo punto mi associo decisamente al più esperto @gugo82 in merito alla richiesta di delucidazioni. In generale posso dirti che non si riesce a risolvere una disequazione in due incognite: è necessaria una discussione. A meno che tu non ci nasconda involontariamente qualche altra informazione. Incidentalmente ti faccio osservare che saresti più chiaro e ci aiuteresti se scrivessi le formule come specificato nella guida: https://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html. Facendo uso del pulsante Anteprima, ti rendi conto di come appaiono le formule che hai appena scritto. Grazie.
Hai ragione, scusa! Non ho cliccato sul pulsante Anteprima e ho subito inviato!
Come volevasi dimostrare...
@Lollo_Rese: La prossima volta, ricorda di proporre integralmente il testo dell'esercizio.
Ora, se ho capito bene, vuoi dimostrare formalmente che la successione $f(n)=3n^2+10n$ è un $\text{O}(n^2)$, ossia che:
\[
\exists C\geq 0,\ \exists n_0\in \mathbb{N}:\quad \forall n \geq n_0\quad \Rightarrow\quad |3n^2+10n|\leq C\cdot n^2\; .
\]
Ora, per risolvere puoi imboccare almeno un paio di strade:
[list=1]
[*:2x6debhk] l'istinto dell'Analista ti dice che ogni $C\geq 3$ è una buona costante da scegliere[nota]Fondamentalmente perché $f(n)= 3n^2 + \text{infiniti d'ordine inferiore}$ per $n\to \infty$ e perché tu vuoi controllare $f(n)$ dall'alto.[/nota]; quindi puoi scegliere $C=4$ e cercare di trovare $n_0$ semplicemente risolvendo la disequazione $|3n^2 + 10 n| \leq 4n^2$: se tutto funziona a dovere, hai risolto.
[/*:m:2x6debhk]
[*:2x6debhk] dato che $g(n):=n^2$ è una successione positiva, soddisfare la definizione del simbolo $\text{O}$ equivale a stabilire se la successione di rapporti $\frac{3n^2 + 10n}{n^2}$ è (definitivamente) limitata; dato che:
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{3n^2 + 10n}{n^2} = 3
\]
e dato che le successioni convergenti sono limitate, sai che esiste $M\geq 0$ tale che $|\frac{3n^2 + 10n}{n^2}|\leq M$ per ogni $n\in \NN$; dunque ti basta prendere $C=M$ e sei a cavallo.[/*:m:2x6debhk][/list:o:2x6debhk]
@Lollo_Rese: La prossima volta, ricorda di proporre integralmente il testo dell'esercizio.
Ora, se ho capito bene, vuoi dimostrare formalmente che la successione $f(n)=3n^2+10n$ è un $\text{O}(n^2)$, ossia che:
\[
\exists C\geq 0,\ \exists n_0\in \mathbb{N}:\quad \forall n \geq n_0\quad \Rightarrow\quad |3n^2+10n|\leq C\cdot n^2\; .
\]
Ora, per risolvere puoi imboccare almeno un paio di strade:
[list=1]
[*:2x6debhk] l'istinto dell'Analista ti dice che ogni $C\geq 3$ è una buona costante da scegliere[nota]Fondamentalmente perché $f(n)= 3n^2 + \text{infiniti d'ordine inferiore}$ per $n\to \infty$ e perché tu vuoi controllare $f(n)$ dall'alto.[/nota]; quindi puoi scegliere $C=4$ e cercare di trovare $n_0$ semplicemente risolvendo la disequazione $|3n^2 + 10 n| \leq 4n^2$: se tutto funziona a dovere, hai risolto.
[/*:m:2x6debhk]
[*:2x6debhk] dato che $g(n):=n^2$ è una successione positiva, soddisfare la definizione del simbolo $\text{O}$ equivale a stabilire se la successione di rapporti $\frac{3n^2 + 10n}{n^2}$ è (definitivamente) limitata; dato che:
\[
\lim_{n\to \infty} \frac{3n^2 + 10n}{n^2} = 3
\]
e dato che le successioni convergenti sono limitate, sai che esiste $M\geq 0$ tale che $|\frac{3n^2 + 10n}{n^2}|\leq M$ per ogni $n\in \NN$; dunque ti basta prendere $C=M$ e sei a cavallo.[/*:m:2x6debhk][/list:o:2x6debhk]
Sei stato molto chiaro! Grazie!!
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