Disequazione complessa
salve a tutti studiando per la mia tesi mi sono imbattuto in questa disequazione che io so già che è verificata per
$ r>a $ per condizioni geometriche riguardo a due superfici a contatto, avreste idee su come impostare una soluzione visto che il testo non accenna minimamente a farlo ed io non so da dove cominciare? grazie mille a tutti in ogni caso!
$ arcsin(a/r)+[a*(r^2-a^2)^(1/2)]/(2a^2-r^2)>pi/2 $
$ r>a $ per condizioni geometriche riguardo a due superfici a contatto, avreste idee su come impostare una soluzione visto che il testo non accenna minimamente a farlo ed io non so da dove cominciare? grazie mille a tutti in ogni caso!
$ arcsin(a/r)+[a*(r^2-a^2)^(1/2)]/(2a^2-r^2)>pi/2 $
Risposte
Quale tra [tex]$a$[/tex] ed [tex]$r$[/tex] è la variabile?
Ad ogni modo, osserva che c'è un buon grado di omogeneità nel secondo addendo, quindi è possibile ridurre il problema ad una disequazione nel rapporto [tex]$\tau =\tfrac{a}{r}$[/tex]: invero si può scrivere:
[tex]$\arcsin \tfrac{a}{r} + \frac{ar \sqrt{1-\tfrac{a^2}{r^2}}}{r^2 (2\tfrac{a^2}{r^2} -1)} = \arcsin \tau + \tau\ \frac{\sqrt{1-\tau^2}}{2\tau^2-1}$[/tex],
e, tenendo presente che [tex]$\tfrac{\pi}{2} -\arcsin \tau =\arccos \tau$[/tex], la disequazione diventa:
[tex]$\tau\ \frac{\sqrt{1-\tau^2}}{2\tau^2-1} > \arccos \tau$[/tex].
Comunque ci deve essere qualche errore di trascrizione nel testo, perchè facendo un grafico si vede che per [tex]$\tau \approx 0.9$[/tex] si ha [tex]\tau\ \frac{\sqrt{1-\tau^2}}{2\tau^2-1} > \arccos \tau[/tex], mentre per [tex]$\tau \approx 0.5$[/tex] vale la disuguaglianza opposta.
Ad ogni modo, osserva che c'è un buon grado di omogeneità nel secondo addendo, quindi è possibile ridurre il problema ad una disequazione nel rapporto [tex]$\tau =\tfrac{a}{r}$[/tex]: invero si può scrivere:
[tex]$\arcsin \tfrac{a}{r} + \frac{ar \sqrt{1-\tfrac{a^2}{r^2}}}{r^2 (2\tfrac{a^2}{r^2} -1)} = \arcsin \tau + \tau\ \frac{\sqrt{1-\tau^2}}{2\tau^2-1}$[/tex],
e, tenendo presente che [tex]$\tfrac{\pi}{2} -\arcsin \tau =\arccos \tau$[/tex], la disequazione diventa:
[tex]$\tau\ \frac{\sqrt{1-\tau^2}}{2\tau^2-1} > \arccos \tau$[/tex].
Comunque ci deve essere qualche errore di trascrizione nel testo, perchè facendo un grafico si vede che per [tex]$\tau \approx 0.9$[/tex] si ha [tex]\tau\ \frac{\sqrt{1-\tau^2}}{2\tau^2-1} > \arccos \tau[/tex], mentre per [tex]$\tau \approx 0.5$[/tex] vale la disuguaglianza opposta.
ciao gugo e grazie mille della risposta! innanzitutto inizio con il dirti che la variabile è $ r $ mentre $ a $ rappresenta il raggio di una circonferenza ed è descritta da una funzione nota che dipende dalle curvature principali di due superfici a contatto, riguardo all'errore di cui parli è molto probabile ed ora ricontrollo i calcoli perchè ho semplificato la relazione con delle sostituzioni e potrei essere incappato nello sbaglio; il testo dice comunque che questa disequazione è verificata per r>a ed essa rappresenta la condizione che due superfici una volta deformate non si tocchino al difuori di un impronta di raggio $ a $, cmqe ora ricontrollo e ti aggiorno, grazie ancora!
gugo ho ricontrollato i calcoli e mi sembrano corretti ma graficando le due funzioni ad un certo punto succede qualcosa di strano, come infatti dici tu ad un tratto la disequazione che prima era verificata non lo è più e la funzione a primo membro presenta una discontinuità con salto...molto strano
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