Disequazione a due variabili

[dlbp]

Buongiorno e buona Domenica a tutti....
studiando l'hessiano di una funzione a due variabili mi sono imbattuto in questa disequazione

$3x^4+y^4+4x^3y>0

Portando graficamente il risultato di questa disequazione sull'asse cartesiano dovrei vedere che la retta $y=-x$ è una retta di minimi ma non riesco proprio a capire come risolvere quella disequazione. Ho provato a mettere in evidenza $x^3$ ma non riesco proprio a sbrogliare la disequazione....mi dareste una mano perfavore?

[robbstark1]

Puoi tentare una scomposizione usando Ruffini, considerando $y$ come una costante.

In alternativa puoi andarci un po' più a occhio, ma in generale non è facile da pensare:
$3x^4 + 4x^3 y +y^4=3x^4 +3x^3 y +x^3 y+y^4 =3x^3 (x+y) +y(x^3 +y^3)=3x^3 (x+y) +y(x+y)(x^2 -xy +y^2)=(x+y)(3x^3 +x^2 y -xy^2 +y^3)=$
$=(x+y)[(x+y)^3 +2x^3 -2x^2 y -4xy^2]=(x+y)[(x+y)^3 +2x(x^2 -xy -2y^2)]=(x+y)[(x+y)^3 +2x(x+y)(x-2y)]=(x+y)^2 [x^2 +2xy+y^2 +2x^2 -4xy]=$
$=(x+y)^2 [3x^2 -2xy +y^2] =(x+y)^2 [(x-y)^2 +2x^2]$
E' evidente che l'espressione ottenuta non è mai negativa, e si annulla per:
1. $y=-x$
2. $x=y=0$ che è già compreso in 1.