Disequazione
Salve ragazzi ho un importante dubbio! Mettiamo che dovessi risolvere una disequazione di questo tipo
$e^x+f(x)>=0$, con f(x) un qualunque polinomio. Come si fa? ho pensato che dovrei fare
$e^x>=-f(x)\implies x>= \log -f(x)$ ma come posso determinarmi gli x precisi per cui quella diseguaglianza è vera?
$e^x+f(x)>=0$, con f(x) un qualunque polinomio. Come si fa? ho pensato che dovrei fare
$e^x>=-f(x)\implies x>= \log -f(x)$ ma come posso determinarmi gli x precisi per cui quella diseguaglianza è vera?
Risposte
Beh dipende dalla situazione in cui ti trovi. In tutti i modi se $f(x)$ è un polinomio (diverso da quello costante, perchè li lo studio è immediato) solitamente si utilizza lo studio grafico della disequazione. Cioè si disegnano su un grafico la funzione esponenziale e la funzione (polinomiale, goniometrica ecc....) e si cercano gli intervalli, o i punti, che soddisfano la condizione iniziale
nella fatti specie la disequazione da risolvere sarebbe
$-\frac{2}{(x-2)^2}-1+e^{-x}<0$
Questa disequazione mi dovrebbe dare in qualche modo x>0 ma non capisco come questo può accadere
$-\frac{2}{(x-2)^2}-1+e^{-x}<0$
Questa disequazione mi dovrebbe dare in qualche modo x>0 ma non capisco come questo può accadere
Secondo me la prima cosa che bisognerebbe fare è mettere un pò apposto i vari elementi della disequazione, per rendere il tutto più sistemato. Quindi prima cosa che ti consiglio di fare è tenere l'esponenziale al primo membro e portare tutto il resto al secondo membro e fare un minimo comune multiplo. Dovresti arrivare ad una cosa del genere (controlla anche tu, per sicurezza):
$e^(-x)< (x^2-4x+6)/(x-2)^2$
Ti trovi!?
$e^(-x)< (x^2-4x+6)/(x-2)^2$
Ti trovi!?
Fin lì ci arrivo...è dopo il problema...
Bene!
Adesso per semplicità mettiamoci in modo da dover lavorare con la classica funzione esponenziale, quindi tramite dei semplici passaggi passiamo da $e^(-x)$ a $e^x$, quindi la nostra disequazione diventa:
$e^x>(x-2)^2/(x^2-4x+6)$
E ora come ti dicevo prima poichè è una disequazione mista, per studiarne le eventuali soluzioni, conviene fare uno studio grafico, quindi si disegna una coppia di assi cartesiani, si disegna la funzione esponenziale (al primo membro) e si fa un grafico approssimativo della funzione al secondo membro, sempre sul grafico di partenza, quindi si sovrappongono le due funzioni e si cercano gli intervalli in cui la disequazione risulta essere vera.
Adesso per semplicità mettiamoci in modo da dover lavorare con la classica funzione esponenziale, quindi tramite dei semplici passaggi passiamo da $e^(-x)$ a $e^x$, quindi la nostra disequazione diventa:
$e^x>(x-2)^2/(x^2-4x+6)$
E ora come ti dicevo prima poichè è una disequazione mista, per studiarne le eventuali soluzioni, conviene fare uno studio grafico, quindi si disegna una coppia di assi cartesiani, si disegna la funzione esponenziale (al primo membro) e si fa un grafico approssimativo della funzione al secondo membro, sempre sul grafico di partenza, quindi si sovrappongono le due funzioni e si cercano gli intervalli in cui la disequazione risulta essere vera.
Ti spiego il problema. Ho questa funzione
$f(x)=-2\frac{x-1}{x-2}-x-e^{-x}$
In particolare il libro mi dice che f'(0) = -2, mentre a me viene -3/2...infatti la derivata di quella funzionwe è
$f'(x) = -\frac{2}{(x-2)^2}-1+e^{-x}$, e quindi f(0) sarebbe $-\frac{2}{4}-1+e^{-0} = -3/2$. Poi nmella dimostrazione ci sono un sacco di passaggi assurdi:S
$f(x)=-2\frac{x-1}{x-2}-x-e^{-x}$
In particolare il libro mi dice che f'(0) = -2, mentre a me viene -3/2...infatti la derivata di quella funzionwe è
$f'(x) = -\frac{2}{(x-2)^2}-1+e^{-x}$, e quindi f(0) sarebbe $-\frac{2}{4}-1+e^{-0} = -3/2$. Poi nmella dimostrazione ci sono un sacco di passaggi assurdi:S
A me la derivata della funzione $f(x)$ viene:
$2/(x-2)^2-1+e^(-x)$
dovresti aver saltato un segno nello svolgimento. Ma alla fine $f'(0)=1/2$
$2/(x-2)^2-1+e^(-x)$
dovresti aver saltato un segno nello svolgimento. Ma alla fine $f'(0)=1/2$
Maz il libro dice -2!c E ci insiste pure!!!
Non so, sarà la pesantezza di questi due giorni di grande abbuffate 
, ma i miei calcoli conducono a quella derivata, e se il risultato è questo allora è impossibile che venga $-2$ (ed è abbastanza evidente), magari domani a mente più fresca riprovo a fare i calcoli, ma penso che questo sia il risultato. Sempre nelle ipotesi che la funzione di partenza sia scritta bene.
, ma i miei calcoli conducono a quella derivata, e se il risultato è questo allora è impossibile che venga $-2$ (ed è abbastanza evidente), magari domani a mente più fresca riprovo a fare i calcoli, ma penso che questo sia il risultato. Sempre nelle ipotesi che la funzione di partenza sia scritta bene.
"Lorin":
A me la derivata della funzione $f(x)$ viene:
$2/(x-2)^2-1+e^(-x)$
Sì, anche a me, sicchè $f'(0)=1/2$
Comunque $e^x$, come $ln(x)$ sono funzioni
"trascendenti" _non hai soluzioni analitiche
per un'equazione come $e^x=p_n(x)$, ove $p_n(x)$ è un polinomio di grado n-esimo di $x$ (a parte! ovviamente,
casi come $e^x=e^m$,....)
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