Disequazione.............
so che potrà essere banale ma come si risolve : $x^4+2x^2-x <=0$?
Risposte
se il testo è esatto, non è risolvibile per via elementare:
si mette in evidenza il fattore comune $x$ e si ottiene un trinomio di terzo grado non scomponibile mediante Ruffini. in realtà esiste una formula che fa trovare una soluzione delle equazioni di terzo grado, ma quella la puoi cercare in internet, non credo che ti si richieda di applicarla...
$x*(x^3+2x-1) <= 0$
ci si prepara a fare lo studio dei segni dei due fattori: uno è banale, per l'altro si trova la derivata prima e se ne studia il segno per ottenere delle indicazioni.
$f(x)=x^3+2x-1$ -> $f'(x)=3x^2+2$ la derivata prima sempre positiva -> la f sempre strettamente crescente: allora il trinomio di terzo grado può avere al massimo uno zero (ma almeno uno ce l'ha di sicuro perché è di terzo grado...)... chiamo $x_0$ il valore per cui la f si annulla. allora
$x^3+2x-1 >=0$ se e solo se $x >= x_0$
per il teorema di esistenza degli zeri $x_0 in (0, 1)$... si tratta solo di trovarne un'approssimazione con un metodo iterativo...
dunque studiando il segno dei due fattori la soluzione della disequazione è $x in [0, x_0]$
ciao. spero di essere stata chiara.
si mette in evidenza il fattore comune $x$ e si ottiene un trinomio di terzo grado non scomponibile mediante Ruffini. in realtà esiste una formula che fa trovare una soluzione delle equazioni di terzo grado, ma quella la puoi cercare in internet, non credo che ti si richieda di applicarla...
$x*(x^3+2x-1) <= 0$
ci si prepara a fare lo studio dei segni dei due fattori: uno è banale, per l'altro si trova la derivata prima e se ne studia il segno per ottenere delle indicazioni.
$f(x)=x^3+2x-1$ -> $f'(x)=3x^2+2$ la derivata prima sempre positiva -> la f sempre strettamente crescente: allora il trinomio di terzo grado può avere al massimo uno zero (ma almeno uno ce l'ha di sicuro perché è di terzo grado...)... chiamo $x_0$ il valore per cui la f si annulla. allora
$x^3+2x-1 >=0$ se e solo se $x >= x_0$
per il teorema di esistenza degli zeri $x_0 in (0, 1)$... si tratta solo di trovarne un'approssimazione con un metodo iterativo...
dunque studiando il segno dei due fattori la soluzione della disequazione è $x in [0, x_0]$
ciao. spero di essere stata chiara.
chiarissima....grazie... solo una cosa come dici che $x_0∈(0,1)$
volevo chiederti ancora una cosa se avessi usato ruffini come le trovo le radici?
volevo chiederti ancora una cosa se avessi usato ruffini come le trovo le radici?
La funzione è continua e monotona crescente, quindi
$f(x)=x^3+2x-1$
Vediamo che
$f(0)=-1<0$
e
$f(1)=2>0$
Siccome la funzione assume valore negativo in 0 e positivo in 1, e cresce strettamente, deve tagliare l'asse x in un punto $x_0in(0,1)$
Se vuoi avvicinarti a $x_0$, calcola ad esempio $f(1/2)$
Risulta
$f(1/2)=1/8>0$ quindi puoi restringere l'intervallo a $(0,1/2)$.
Ciao.
$f(x)=x^3+2x-1$
Vediamo che
$f(0)=-1<0$
e
$f(1)=2>0$
Siccome la funzione assume valore negativo in 0 e positivo in 1, e cresce strettamente, deve tagliare l'asse x in un punto $x_0in(0,1)$
Se vuoi avvicinarti a $x_0$, calcola ad esempio $f(1/2)$
Risulta
$f(1/2)=1/8>0$ quindi puoi restringere l'intervallo a $(0,1/2)$.
Ciao.
"adaBTTLS":
per il teorema di esistenza degli zeri $x_0 in (0, 1)$
Infatti:
$x_0 = 0.4533976515...$
In ogni caso credo anche io che ci sia un errore nel testo:
dovremmo arrivare, forse, all'equazione $x^3-2x+1=0$.
Ma sono solo delle ipotesi..
dovremmo arrivare, forse, all'equazione $x^3-2x+1=0$.
Ma sono solo delle ipotesi..
@ Knuckles
alla prima domanda ha risposto Steven (con le condizioni del teorema di esistenza degli zeri): se non lo conosci, facci sapere.
alla seconda domanda, questione di algebra del biennio della scuola superiore:
1) teorema del resto: il resto della divisione del polinomio P(x) per il binomio (x-a) (a può essere un numero "reale" qualsiasi, ma il teorema si usa per $a in QQ$ ) è il valore che il polinomio assume per x=a, cioè P(a).
2) immediata conseguenza: P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se P(a)=0
3) eventuali zeri razionali del polinomio P(x) sono tutte le frazioni (precedute dal segno + o dal segno - ) aventi al numeratore un divisore del termine noto e al denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
nel tuo caso non c'erano zeri razionali perché $P(x)=x^3+2x-1$ ha, come eventuali zeri, solo +1 e -1, e risulta:
$P(1)=1+2-1=2!=0$, $P(-1)=-1-2-1=-4!=0$
il polinomio che ti suggerisce franced invece si annulla per x=1 e quindi è divisibile per (x-1); basta che esegui la divisione ricavando il quoziente $Q(x)=x^2+x-1$ e resto zero; per la regola della divisione sarà P(x)=Q(x)*(x-1); sarai dunque riuscito ad abbassare di grado l'equazione di terzo grado; per la regola di annullamento del prodotto sarà P(x)=0 se e solo se almeno uno dei due fattori Q(x) e (x-1) è uguale a zero...
ciao.
alla prima domanda ha risposto Steven (con le condizioni del teorema di esistenza degli zeri): se non lo conosci, facci sapere.
alla seconda domanda, questione di algebra del biennio della scuola superiore:
1) teorema del resto: il resto della divisione del polinomio P(x) per il binomio (x-a) (a può essere un numero "reale" qualsiasi, ma il teorema si usa per $a in QQ$ ) è il valore che il polinomio assume per x=a, cioè P(a).
2) immediata conseguenza: P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se P(a)=0
3) eventuali zeri razionali del polinomio P(x) sono tutte le frazioni (precedute dal segno + o dal segno - ) aventi al numeratore un divisore del termine noto e al denominatore un divisore del coefficiente del termine di grado massimo.
nel tuo caso non c'erano zeri razionali perché $P(x)=x^3+2x-1$ ha, come eventuali zeri, solo +1 e -1, e risulta:
$P(1)=1+2-1=2!=0$, $P(-1)=-1-2-1=-4!=0$
il polinomio che ti suggerisce franced invece si annulla per x=1 e quindi è divisibile per (x-1); basta che esegui la divisione ricavando il quoziente $Q(x)=x^2+x-1$ e resto zero; per la regola della divisione sarà P(x)=Q(x)*(x-1); sarai dunque riuscito ad abbassare di grado l'equazione di terzo grado; per la regola di annullamento del prodotto sarà P(x)=0 se e solo se almeno uno dei due fattori Q(x) e (x-1) è uguale a zero...
ciao.
ok mi spiego meglio così potrò chiarirvi le idee......
Allora il testo dice: RISOLVERE LA SEGUENTE EQUAZIONE : $sqrt(1+(sqrt(1+x))>x$
Ho ragionato dicendo che essa è sensata se $1+x>=0$ $x>=-1$
poi ho detto:
a) se $x∈[-1;0]$ la disuguaglianza è certamente vera in quanto il primo membro è positivo e il secondo negativo
b) se $x>0$ la diseguaglianza diventa $1+sqrt(1+x)>=x^2$ ---> $sqrt(1+x)>=x^2-1$
che è vera se $x^2-1<=0$ cioè se $x<=1$ ma siccome siamo in x>0 l'intervallo delle soluzioni è x∈(0;1]
c)se x>1
$1+x>=(x^2-1)^2$e qui esce fuori la disequazione $x^4-2x^2-x<=0$
che ho provato risolvere così:
$x(x^3-2x-1)<=0$ ---> $x(x^3-x-x-1)<=0$ -----> $x[x(x^2-1)-(x+1)]<=0$ finchè ottengo:
$x(x+1)(x^2-x-1)<=0$
che risolvendolo per le x>1 mi viene l'intervallo $x∈[(1-sqrt(5))/2;+oo)$
solo che il risultato del prof è diverso....
Allora il testo dice: RISOLVERE LA SEGUENTE EQUAZIONE : $sqrt(1+(sqrt(1+x))>x$
Ho ragionato dicendo che essa è sensata se $1+x>=0$ $x>=-1$
poi ho detto:
a) se $x∈[-1;0]$ la disuguaglianza è certamente vera in quanto il primo membro è positivo e il secondo negativo
b) se $x>0$ la diseguaglianza diventa $1+sqrt(1+x)>=x^2$ ---> $sqrt(1+x)>=x^2-1$
che è vera se $x^2-1<=0$ cioè se $x<=1$ ma siccome siamo in x>0 l'intervallo delle soluzioni è x∈(0;1]
c)se x>1
$1+x>=(x^2-1)^2$e qui esce fuori la disequazione $x^4-2x^2-x<=0$
che ho provato risolvere così:
$x(x^3-2x-1)<=0$ ---> $x(x^3-x-x-1)<=0$ -----> $x[x(x^2-1)-(x+1)]<=0$ finchè ottengo:
$x(x+1)(x^2-x-1)<=0$
che risolvendolo per le x>1 mi viene l'intervallo $x∈[(1-sqrt(5))/2;+oo)$
solo che il risultato del prof è diverso....
indipendentemente dalla condizione $x>1$, la soluzione dell'ultima disequazione, utilizzando il prodotto dei segni dei singoli fattori, è: $x in [-1, (1-sqrt(5))/2]uu[0, (1+sqrt(5))/2]$, quindi, tenendo conto anche della condizione $x>1$ si ha $x in (1, (1+sqrt(5))/2]$
unendo le tre soluzioni (correggi $x^2+1$ con $x^2-1$ ), la soluzione complessiva della disequazione è $x in [-1, (1+sqrt(5))/2]$. ciao.
unendo le tre soluzioni (correggi $x^2+1$ con $x^2-1$ ), la soluzione complessiva della disequazione è $x in [-1, (1+sqrt(5))/2]$. ciao.
ecco a te viene giusto ma non capisco perchè a me no.....
1° fattore $x<=0$
2° fattore $x+1<=0$ ---> $x<=-1$
3° fattore $x^2-x-1<=0$ ----> $(1-sqrt(5))/2<=x<=(1+sqrt(5))/2$
ma non mi viene l'intervallo che hai trovato te.........
1° fattore $x<=0$
2° fattore $x+1<=0$ ---> $x<=-1$
3° fattore $x^2-x-1<=0$ ----> $(1-sqrt(5))/2<=x<=(1+sqrt(5))/2$
ma non mi viene l'intervallo che hai trovato te.........
che cosa intendi rappresentare con una "linea continua"? dove è positivo il fattore oppure dove è negativo?
dove il fattore è positivo...
quindi vanno considerate, in partenza, le disequazioni con il simbolo di $>=$ e, solo dopo aver fatto il prodotto dei segni, si va a "prendere" il risultato negativo.
senza rifare i conti, basta che rappresenti con linea continua i valori per i quali $"non sono verificate le disuguaglianze scritte"$, perché, al contrario, i valori per i quali sono verificate corrispondono a soluzioni "negative". non è proprio un modo ortodosso di esprimersi, però spero di essere stata chiara. ciao.
senza rifare i conti, basta che rappresenti con linea continua i valori per i quali $"non sono verificate le disuguaglianze scritte"$, perché, al contrario, i valori per i quali sono verificate corrispondono a soluzioni "negative". non è proprio un modo ortodosso di esprimersi, però spero di essere stata chiara. ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo