Disequazione

[darinter]

Dovendo studiare la funzione $f(x)=arctgx +(|2x-1|/(1+x^2))$ non riesco a trovare il segno di questa funzione.Ho pensato che se $x>0$ allora la funzione è positiva in quanto l'arctg è positiva ed è addizionata ad una quantità positiva $(|2x-1|/(1+x^2))$.Resta ,se il mio ragionamento è giusto, da vedere cosa succede se $x<0$,in tal caso l'arctgx può assumere come valore più basso $-(π/2)$ e dunque affinchè la funzione risulti positiva è necessario che $(|2x-1|/(1+x^2))>π/2$,qui però si complicano le cose per via della presenza di $π$.Come posso risovere tale disequazione evitando il ragionamento appena illustrato(sempre se esso è corretto)?

vi ringrazio anticipatamente

[oronte83]

Ciao, allora io inizierei a scrivere la funzione per esteso cioé:

$y=arctgx+(2x-1)/(1+x^2)$ se $x>=1/2$

$y=arctgx+(1-2x)/(1+x^2)$ se $x<1/2$

Poi per studiare il segno hai i due sistemi

$arctgx+(2x-1)/(1+x^2)>0$
$x>=1/2$

e

$arctgx+(1-2x)/(1+x^2)>0$
$x<1/2$

Puoi tentare con una risoluzione di tipo grafico:
$arctgx>(1-2x)/(1+x^2)$

$arctgx>(2x-1)/(1+x^2)$

[zorn1]

Non penso si possa con metodi elementari, a ogni modo è esatto che per $x=0$ la funzione è positiva e per $x=-1/2$ la funzione è negativa in quanto vale $arctg(-1/2)$. Quindi ha uno zero nell'intervallo $]-1/2;0[$ . Esso è un numero trascendente per un teorema di Lindemann, quindi potresti solo accontentarti solo di una qualche approssimazione con metodi di bisezione o di Newton.

E' molto più conveniente studiarsi la derivata (molto più semplice perché riesce una funzione razionale) per capirne l'andamento.