[Disequazione]
Verificare che $lnx<=x^2-x$
Avevo provato per induzione senza ottenere alcun risultato, allora ho provato nel seguente modo:
$f(x)=x^2-x-lnx; D_f=RR^+$[nota]$RR^+=(0,+oo)$[/nota]
studiando che $f(x)>=0, AAx in RR^+$
Quindi vado a calcolare il segno di $f'(x)$:
$f'(x)=2x-1-1/x$
$(2x^2-x-1)/x>0$
${ ( 2x^2-x-1>0 ),( x>0 ):}$
quindi $x>0$
$(2x^2-x-1)/x>0$
${ ( 2x^2-x-1>0 ),( x>0 ):}$
quindi $x>0$
Cioè $f'(x)>0$ in $RR^+ rArr f(x)$ è crescente in $RR^+$,
Inoltre tenendo conto del fatto che: $f'(1)=0 rArr 1$ è un punto di minimo, e che $f(1)=0$; posso concludere che $f(x)<=0$
In conclusione:
$1)$ $f'(x)>0, AA x in RR^+$
$2)$ $f(x)>=0, AA x in RR^+$
$x^2-x-lnx(x)>=0, AA x in RR^+$
$x^2-x>=lnx, AA x in RR^+$
$2)$ $f(x)>=0, AA x in RR^+$
$x^2-x-lnx(x)>=0, AA x in RR^+$
$x^2-x>=lnx, AA x in RR^+$
Il procedimento mi sembra corretto, quello che mi turbava un po' è il passaggio da $1)$ a $2)$ dove nella seconda disequazione ho introdotto anche l'uguale per per ottenere la disequazione di partenza; si può fare?
Risposte
Il ragionamento mi sembra corretto, anche se non ho controllato i conti... Ed in sé contiene il germe della generalità.
Infatti, in generale, quando vuoi dimostrare una disuguaglianza tra funzioni di classe $C^1$ si può procedere come hai fatto in questo caso.
Ad esempio, se vuoi provare che $f(x)\leq g(x)$ per ogni $x\in I$ (in cui $I$ è un assegnato intervallo della retta reale), puoi formare la funzione deficit:
\[
\Delta (x) := g(x)-f(x)
\]
(che misura il gap tra il primo ed il secondo membro) e provare che essa ha estremo inferiore (o, meglio ancora, minimo assoluto) $\Delta_0\geq 0$ in $I$, studiando il segno della derivata $\Delta^\prime$ e la monotònia di $\Delta$.
Per definizione di estremo inferiore allora concludi che:
\[
\Delta (x)\geq \Delta_0 \qquad \Leftrightarrow \qquad g(x) - f(x) \geq \Delta_0
\]
in tutto $I$, con l'ultima disuguaglianza più forte di quella da cui partivi (se $\Delta_0>0$) oppure equivalente ad essa (se $\Delta_0=0$).
Un altro modo di procedere, se la funzione minorante è $\geq 0$ in $I$, è quello di mostrare che la disuguaglianza vale in tutti i punti in cui si annulla $f$ e, per gli altri punti, formare la funzione rapporto:
\[
\tau(x) := \frac{g(x)}{f(x)}
\]
e provare che essa ha estremo inferiore (o, meglio ancora, minimo assoluto) $\tau_0\geq 1$ in $I$, studiando il segno della derivata prima \(\tau^\prime (x)\) e la monotonia di $\tau$). Come sopra concludi che:
\[
\tau(x)\geq \tau_0\qquad \Rightarrow \qquad g(x)\geq \tau_0\ f(x)
\]
con la seconda disuguaglianza valida in tutto $I$ (perché valida pure nei punti in cui $f$ è nulla) e più forte di quella da cui partivi (se $\tau_0>1$) oppure coincidente con essa (se $\tau_0=1$).
Questi ragionamenti sono anche abbastanza utili a caratterizzare i casi di uguaglianza.
Infatti, a ben vedere in un punto $x^\star\in I$ vale l'uguaglianza $f(x^\star)=g(x^\star)$ se e solo se:
Infatti, in generale, quando vuoi dimostrare una disuguaglianza tra funzioni di classe $C^1$ si può procedere come hai fatto in questo caso.
Ad esempio, se vuoi provare che $f(x)\leq g(x)$ per ogni $x\in I$ (in cui $I$ è un assegnato intervallo della retta reale), puoi formare la funzione deficit:
\[
\Delta (x) := g(x)-f(x)
\]
(che misura il gap tra il primo ed il secondo membro) e provare che essa ha estremo inferiore (o, meglio ancora, minimo assoluto) $\Delta_0\geq 0$ in $I$, studiando il segno della derivata $\Delta^\prime$ e la monotònia di $\Delta$.
Per definizione di estremo inferiore allora concludi che:
\[
\Delta (x)\geq \Delta_0 \qquad \Leftrightarrow \qquad g(x) - f(x) \geq \Delta_0
\]
in tutto $I$, con l'ultima disuguaglianza più forte di quella da cui partivi (se $\Delta_0>0$) oppure equivalente ad essa (se $\Delta_0=0$).
Un altro modo di procedere, se la funzione minorante è $\geq 0$ in $I$, è quello di mostrare che la disuguaglianza vale in tutti i punti in cui si annulla $f$ e, per gli altri punti, formare la funzione rapporto:
\[
\tau(x) := \frac{g(x)}{f(x)}
\]
e provare che essa ha estremo inferiore (o, meglio ancora, minimo assoluto) $\tau_0\geq 1$ in $I$, studiando il segno della derivata prima \(\tau^\prime (x)\) e la monotonia di $\tau$). Come sopra concludi che:
\[
\tau(x)\geq \tau_0\qquad \Rightarrow \qquad g(x)\geq \tau_0\ f(x)
\]
con la seconda disuguaglianza valida in tutto $I$ (perché valida pure nei punti in cui $f$ è nulla) e più forte di quella da cui partivi (se $\tau_0>1$) oppure coincidente con essa (se $\tau_0=1$).
Questi ragionamenti sono anche abbastanza utili a caratterizzare i casi di uguaglianza.
Infatti, a ben vedere in un punto $x^\star\in I$ vale l'uguaglianza $f(x^\star)=g(x^\star)$ se e solo se:
[*:1dhg8gsd] in termini di funzione deficit, \(\Delta (x^\star)=0=\Delta_0\), sicché $\Delta$ è dotata di minimo assoluto;
[/*:m:1dhg8gsd]
[*:1dhg8gsd] in termini di funzione rapporto, $f(x^\star)=0=g(x^\star)$ o $\tau(x^\star)=1=\tau_0$, e nel secondo caso $\tau$ è dotata di minimo assoluto;[/*:m:1dhg8gsd][/list:u:1dhg8gsd]
ne consegue che:
[*:1dhg8gsd] l'uguaglianza in $f(x)\le g(x)$ non può mai essere soddisfatta se $\Delta_0>0$ oppure se $\tau_0>1$ ed $f$ e $g$ non hanno zeri in comune: in tal caso, vale la disuguaglianza stretta ovunque in $I$;
[/*:m:1dhg8gsd]
[*:1dhg8gsd] l'uguaglianza vale in \(f(x)\leq g(x)\) solo se:
- [*:1dhg8gsd] in termini di funzione deficit, $\Delta_0=0$ è un minimo assoluto per $\Delta$,
[/*:m:1dhg8gsd]
[*:1dhg8gsd] in termini di funzione rapporto, $f$ e $g$ hanno qualche zero comune oppure $\tau_0=1$;[/*:m:1dhg8gsd][/list:u:1dhg8gsd]
in tal caso i punti in cui vale l'uguaglianza $f(x)=g(x)$ sono gli $x^\star$ in cui o $\Delta$ è minima (e uguale a $0$) oppure che sono zeri in comune a $f$ e $g$ (uguaglianza banale) ovvero in cui $\tau$ è minima (ed uguale a $1$, uguaglianza non banale); mentre negli altri punti di $I$ la disuguaglianza è stretta.[/*:m:1dhg8gsd][/list:u:1dhg8gsd]
Perfetto, ti ringrazio per la risposta. 
Purtroppo ad Analisi il professore, seppur bravo, per determinati esercizi non dà un criterio generale ma li spiega rimandando il concetto ad un esempio pratico...
Purtroppo ad Analisi il professore, seppur bravo, per determinati esercizi non dà un criterio generale ma li spiega rimandando il concetto ad un esempio pratico...
Volendo si poteva anche dire che $x^2-x>=x-1$ infatti $(x-1)^2>=0$ e che $ln(x)<=x-1$ per via della concavità della funzione nel suo dominio ($x-1$ è l'equazione della retta tangente alla curva logaritmica in $x=1$). Leggermente più sbrigativo ma il metodo generale esposto sopra è quello più utile la maggioranza delle volte
Comunque attento, hai sbagliato la disequazione, una volta studiati i segni di numeratore e denominatore non devi mettere le condizioni a sistema ma confrontarle nel grafico, difatti la funzione differenza è crescente solo per $x>1$, tra $0$ e $1$ decresce ma l'asse delle $y$ è un asintoto positivo quindi rimane positiva.
Comunque attento, hai sbagliato la disequazione, una volta studiati i segni di numeratore e denominatore non devi mettere le condizioni a sistema ma confrontarle nel grafico, difatti la funzione differenza è crescente solo per $x>1$, tra $0$ e $1$ decresce ma l'asse delle $y$ è un asintoto positivo quindi rimane positiva.
"consec":
Comunque attento, hai sbagliato la disequazione, una volta studiati i segni di numeratore e denominatore non devi mettere le condizioni a sistema ma confrontarle nel grafico, difatti la funzione differenza è crescente solo per $x>1$, tra $0$ e $1$ decresce ma l'asse delle $y$ è un asintoto positivo quindi rimane positiva.
Grazie per avermelo fatto notare!
All'altro metodo non ci sarei mai arrivato
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