Diseguaglianza di Gronwall generalizzata (?)
salve, oggi mi è venuto un dubbio... Se ho due problema di cauchy, per fissare le idee prendiamo per esempio:
\[
x'(t)=f(x(t))
\]
con dato iniziale:
\[ x(t_0)=x_0,
\]
e la stessa dinamica con un dato iniziale modificato di un "piccolo h", ovvero:
\[
\overline{x}'(t)=f(\overline{x}(t))
\]
con dato iniziale:
\[ \overline{x}(t_0)=x_0+h.
\]
Ora, se la dinamica $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ è lipschitz, allora esiste un'unica soluzione locale e, dal lemma di gronwall, sappiamo che:
\[ \mid \overline{x}(t) - x(t)\mid \leq h. \]
Ora, se per esempio indebolissi le ipotesi e suppongo che $f$ è Holder continua con costante $\theta$, ovviamente mi cade l'unicità delle soluzioni... ma potrei dire che prese due soluzioni $x, \overline{x}$ vale che:
\[ \mid \overline{x}(t) - x(t)\mid \leq h^{\theta} \]
???
So che:
\[ \mid x'(t)-\overline{x}'(t)\mid \leq c \mid x(t)-\overline{x}(t)\mid^{\theta},
\]
possiamo procedere applicando una disuguaglianza di Gronwall generalizzata? O something else ?
Ovvero, si può dire qualcosa sulla continuità dal dato iniziale, se la dinamica è solo Holder?? (anche in assenza di unicità delle soluzioni??)
\[
x'(t)=f(x(t))
\]
con dato iniziale:
\[ x(t_0)=x_0,
\]
e la stessa dinamica con un dato iniziale modificato di un "piccolo h", ovvero:
\[
\overline{x}'(t)=f(\overline{x}(t))
\]
con dato iniziale:
\[ \overline{x}(t_0)=x_0+h.
\]
Ora, se la dinamica $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ è lipschitz, allora esiste un'unica soluzione locale e, dal lemma di gronwall, sappiamo che:
\[ \mid \overline{x}(t) - x(t)\mid \leq h. \]
Ora, se per esempio indebolissi le ipotesi e suppongo che $f$ è Holder continua con costante $\theta$, ovviamente mi cade l'unicità delle soluzioni... ma potrei dire che prese due soluzioni $x, \overline{x}$ vale che:
\[ \mid \overline{x}(t) - x(t)\mid \leq h^{\theta} \]
???
So che:
\[ \mid x'(t)-\overline{x}'(t)\mid \leq c \mid x(t)-\overline{x}(t)\mid^{\theta},
\]
possiamo procedere applicando una disuguaglianza di Gronwall generalizzata? O something else ?
Ovvero, si può dire qualcosa sulla continuità dal dato iniziale, se la dinamica è solo Holder?? (anche in assenza di unicità delle soluzioni??)
Risposte
Io comincerei a ripassarmi Gronwall senza generalizzazione.
Al solito, quello che conta non è sapere i teoremi, ma capire cosa dicono, ed avere presenti semplici esempi/controesempi, o essere in grado di farne.
Vediamone uno.
Scelgo $h=1$.
Prendo l'equazione $x' = x$
Condizione iniziale: $x(0) = 0$
Unica soluzione è $x(t) = 0$ per ogni $t$
Prendo $x(0) = 1$
Unica soluzione è $\bar x(t) = e^t$ per ogni $t$.
Stando a quello che tu hai scritto, dovrebbe essere $e^t \le 1$ per ogni $t$.
Delle due l'una:
- o siamo di fronte alla rivoluzionaria scoperta che la funzione esponenziale è limitata (e a breve saremo in prima pagina sui media di tutto il mondo, altro che le balle dette da Giannino o, in piccolo, le dimissioni del papa)
- o ricordi male cosa dice il lemma di Gronwall, più precisamente non ne hai compreso lo spirito, il senso
[size=85]I proventi di questo post saranno devoluti a una onlus che opera per la cattura e soppressione degli urang-utang.[/size]
Al solito, quello che conta non è sapere i teoremi, ma capire cosa dicono, ed avere presenti semplici esempi/controesempi, o essere in grado di farne.
Vediamone uno.
Scelgo $h=1$.
Prendo l'equazione $x' = x$
Condizione iniziale: $x(0) = 0$
Unica soluzione è $x(t) = 0$ per ogni $t$
Prendo $x(0) = 1$
Unica soluzione è $\bar x(t) = e^t$ per ogni $t$.
Stando a quello che tu hai scritto, dovrebbe essere $e^t \le 1$ per ogni $t$.
Delle due l'una:
- o siamo di fronte alla rivoluzionaria scoperta che la funzione esponenziale è limitata (e a breve saremo in prima pagina sui media di tutto il mondo, altro che le balle dette da Giannino o, in piccolo, le dimissioni del papa)
- o ricordi male cosa dice il lemma di Gronwall, più precisamente non ne hai compreso lo spirito, il senso
[size=85]I proventi di questo post saranno devoluti a una onlus che opera per la cattura e soppressione degli urang-utang.[/size]
Wow, ci siamo alzati col piede sbagliato stamattina?? Mi dispiace deluderti ma non andremo su nessun giornale:-D
Ahah, ovviamente applicanto il lemma di Gronwall al tuo esempio si ottiene semplicemente:
\[
\mid e^t \mid \leq e^t.
\]
Comunque si, hai ragione, sono stata poco precisa... ovviamente, tornando al mio primo post, se la dinamica è lipschitz possiamo solo affermare che per qualche costante c :
\[
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq c h.
\]
e se vogliamo essere precisi, $c= e^{k(t-t_0)}$, dove $k$ è la cost di lipschitz di $f$.
Il mio problema era se, indebolendo le ipotesi e prendendo f solo Holder con costante di Holder $\theta$, anche in assenza di unicità di soluzione, potevo affermare una "sorta di continuità" dal dato iniziale, ovvero che per ogni $0
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq c h^{\theta},
\]
ovviamente qui $x$ e $\overline{x}$ sono due qualsiasi soluzioni dei problemi di Cauchy!
Mi servirebbe per un conto che sto facendo
. Nel primo post sono stata poco precisa perchè delle costanti non me ne frega nulla, il problema è la stima con un termine del tipo $h^{\alpha}$ per qualche $\alpha$!!! Però si, avevi ragione, scritto in quel modo non aveva senso 
Ahah, ovviamente applicanto il lemma di Gronwall al tuo esempio si ottiene semplicemente:
\[
\mid e^t \mid \leq e^t.
\]
Comunque si, hai ragione, sono stata poco precisa... ovviamente, tornando al mio primo post, se la dinamica è lipschitz possiamo solo affermare che per qualche costante c :
\[
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq c h.
\]
e se vogliamo essere precisi, $c= e^{k(t-t_0)}$, dove $k$ è la cost di lipschitz di $f$.
Il mio problema era se, indebolendo le ipotesi e prendendo f solo Holder con costante di Holder $\theta$, anche in assenza di unicità di soluzione, potevo affermare una "sorta di continuità" dal dato iniziale, ovvero che per ogni $0
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq c h^{\theta},
\]
ovviamente qui $x$ e $\overline{x}$ sono due qualsiasi soluzioni dei problemi di Cauchy!
Mi servirebbe per un conto che sto facendo
. Nel primo post sono stata poco precisa perchè delle costanti non me ne frega nulla, il problema è la stima con un termine del tipo $h^{\alpha}$ per qualche $\alpha$!!! Però si, avevi ragione, scritto in quel modo non aveva senso
Tra l'altro ho trovato questa "generalizzazione" del lemma di Gronwall:
Proposizione:
Sia t → u(t) una funzione definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], a valori non negativi ed ivi limitata. Si
supponga inoltre che per ogni t ∈ [a, b] valga la disuguaglianza
\[u(t) ≤ c +\int_t^a ds\ ϕ[u(s)],
\]
con ϕ funzione da $R^+$ in s´e, continua, monotona non decrescente. Si supponga
inoltre che l’equazione differenziale
\[y' = ϕ(y) (2.15)\]
ammetta una ed una sola soluzione per il problema di Cauchy in $[a, b]$, e sia $η(y0, t)$
la soluzione tale che $η(y_0, a) = y_0$. Si assuma infine che $η(y0, t)$ dipenda con
continuit`a dal dato iniziale. Allora risulta
\[u(t) ≤ η(c, t)\]
con ϕ funzione da R+ in s´e, continua, monotona non decrescente.
Mi sembra un lemma efficace nel caso in cui venga applicato a sistemi con dinamiche non lipschitz, però serve sapere risolvere esplicitamente il problema (2.15)! Ora sto cercando di capire se ha senso applicarlo al mio problema...
Proposizione:
Sia t → u(t) una funzione definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], a valori non negativi ed ivi limitata. Si
supponga inoltre che per ogni t ∈ [a, b] valga la disuguaglianza
\[u(t) ≤ c +\int_t^a ds\ ϕ[u(s)],
\]
con ϕ funzione da $R^+$ in s´e, continua, monotona non decrescente. Si supponga
inoltre che l’equazione differenziale
\[y' = ϕ(y) (2.15)\]
ammetta una ed una sola soluzione per il problema di Cauchy in $[a, b]$, e sia $η(y0, t)$
la soluzione tale che $η(y_0, a) = y_0$. Si assuma infine che $η(y0, t)$ dipenda con
continuit`a dal dato iniziale. Allora risulta
\[u(t) ≤ η(c, t)\]
con ϕ funzione da R+ in s´e, continua, monotona non decrescente.
Mi sembra un lemma efficace nel caso in cui venga applicato a sistemi con dinamiche non lipschitz, però serve sapere risolvere esplicitamente il problema (2.15)! Ora sto cercando di capire se ha senso applicarlo al mio problema...
"lucillina":
Wow, ci siamo alzati col piede sbagliato stamattina?? Mi dispiace deluderti ma non andremo su nessun giornale:-D
...
Comunque si, hai ragione, sono stata poco precisa... ovviamente, tornando al mio primo post, se la dinamica è lipschitz possiamo solo affermare che per qualche costante c :
\[
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq c h.
\]
e se vogliamo essere precisi, $c= e^{k(t-t_0)}$, dove $k$ è la cost di lipschitz di $f$.
Mi sa che dovresti tornare a ripassare le tabelline.
Tutti possono sbagliare, tutti sbagliano, io per primo, ma una simile perseveranza nello scrivere scemenze senza (pare) neanche accorgersene non me l'aspettavo.
Meglio il tuo primo post. Ho visto quell'errore e ho pensato che magari ti eri dimenticata un pezzettino da scrivere.
Ma che ora ti metti a usare le costanti... variabili, dimostra che non hai capito un granché dell'ABC della matematica, altro che Gronwall.
Riguardo al mio post, al suo tono e alle sue finalità, l'ho scritto con valenza erga ommnes. Troppo spesso mi è capitato di leggere domande sul forum che avrebbero avuto immediata rispsota pur di fare un semplicissimo esempio. Non a caso, ho scelto proprio l'equadiff più semplice(*) che potevo. Il tono era per attirare l'attenzione.
(*) Ovviamente, chi ha capito cosa dice il "Lemma di Gronwall" sa benissimo che il risultato generale è una semplice generalizzazione con le solite tecnicucce elementari proprio di quello che succede con y'=y
Va bene, allora per fissare le idee lavoriamo per $t\in[t_0,a]$, $t_0$ e $a$ fissati e maggioriamo $e^{c(t-t_0)}
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq \mid h \mid c
\]
per qualche costante.
Scusami , ma sto lavorando da tempo su questo articolo e ormai faccio tutti i passaggi in mente, salto subito alle conclusioni per arrivare al dunque... perchè, appunto, il problema sui cui mi stavo focalizzando era ben diverso. Ma comprendo che una persona che legga la cosa per la prima volta non capisca... Ti ringrazio per avermi fatto notare le imprecisioni, ora vado a ripassare le tabelline. Se pensi che la mia domanda iniziale sia tanto scontata, evita di aprire di nuovo il mio post, ti ringrazio.
\mid \overline{x}(t)-x(t)\mid \leq \mid h \mid c
\]
per qualche costante.
Scusami , ma sto lavorando da tempo su questo articolo e ormai faccio tutti i passaggi in mente, salto subito alle conclusioni per arrivare al dunque... perchè, appunto, il problema sui cui mi stavo focalizzando era ben diverso. Ma comprendo che una persona che legga la cosa per la prima volta non capisca... Ti ringrazio per avermi fatto notare le imprecisioni, ora vado a ripassare le tabelline. Se pensi che la mia domanda iniziale sia tanto scontata, evita di aprire di nuovo il mio post, ti ringrazio.
Se può bastare ai tuoi scopi, puoi eventualmente utilizzare le disuguaglianze differenziali.
Nel caso dell'esempio da te proposto, avresti che la funzione \(z(t) := |\bar{x}(t) - x(t)|\) soddisfa la disuguaglianza differenziale
\[
z'(t) \leq c\cdot z(t)^{\theta}, \qquad t\geq t_0.
\]
Da questo puoi dedurre (salvo errori) che
\[
|\bar{x}(t) - x(t)| \leq \left[|\bar{x}_0 - x_0|^{1-\theta} + c (1-\theta) (t-t_0)\right]^{1/(1-\theta)}, \qquad t\geq t_0.
\]
Nel caso dell'esempio da te proposto, avresti che la funzione \(z(t) := |\bar{x}(t) - x(t)|\) soddisfa la disuguaglianza differenziale
\[
z'(t) \leq c\cdot z(t)^{\theta}, \qquad t\geq t_0.
\]
Da questo puoi dedurre (salvo errori) che
\[
|\bar{x}(t) - x(t)| \leq \left[|\bar{x}_0 - x_0|^{1-\theta} + c (1-\theta) (t-t_0)\right]^{1/(1-\theta)}, \qquad t\geq t_0.
\]
Thanks very much Rigel, però mi sembra che come stima non basta ai miei scopi!
Il punto è che, se \(\theta\in (0,1)\), non puoi ottenere (almeno in un intorno dell'origine) una stima del tipo
\[
|\bar{x}(t) - x(t)| \leq c |\bar{x}_0 - x_0|^{\gamma}, \qquad t\in [0, T]
\]
(con \(\gamma > 0\) e \(c\) dipendente da \(T\), naturalmente\), perché questa implicherebbe l'unicità della soluzione per il problema di Cauchy \(z' = z^{\theta}\), \(z(0) = 0\), cosa che non è vera.
\[
|\bar{x}(t) - x(t)| \leq c |\bar{x}_0 - x_0|^{\gamma}, \qquad t\in [0, T]
\]
(con \(\gamma > 0\) e \(c\) dipendente da \(T\), naturalmente\), perché questa implicherebbe l'unicità della soluzione per il problema di Cauchy \(z' = z^{\theta}\), \(z(0) = 0\), cosa che non è vera.
Rigel, ma se stiamo prendendo $z(t)= \overline{x}(t)-x(t)$, esso verifica l 'equazione $z'=z^{\theta}$, ma con dato iniziale $z(t_0)=h$ . Dunque, se considero $h \ne 0$ (che è quello che mi serve!), la stima che dici tu porterebbe all'unicità della soluzione con dato iniziale $z(t_0)=h \ne 0$, che almeno per l'intervallo di esistenza della soluzione mi sembra valida, vero?
Mettiamola così: considera le due funzioni \(\bar{x}(t) = 0\), \(x(t) = [(1-\theta) t]^{1/(1-\theta)}\).
Sono entrambe soluzioni del PdC \(x' = x^{\theta}\), \(x(0) = 0\) (dunque \(h=0\)). Tuttavia sono distinte, per cui non potrai stimare la loro distanza al tempo \(t\) in funzione della distanza al tempo \(0\) (che è nulla).
Sono entrambe soluzioni del PdC \(x' = x^{\theta}\), \(x(0) = 0\) (dunque \(h=0\)). Tuttavia sono distinte, per cui non potrai stimare la loro distanza al tempo \(t\) in funzione della distanza al tempo \(0\) (che è nulla).
Rigel, scusami ma io continuo a non capire :
Io vorrei stimare la distanza fra le soluzioni del PdC con dato iniziale $0$ e con dato iniziale $h \ne 0$, quindi la loro distanza a tempo $0$ non è $0$ ma $h$! Andando al limite per $h$ a $0$ allora si ottiene la contraddizione che dici tu... Ma avrebbe senso un tale limite, visto che per $h$ a zero perdo l'unicità della soluzione??
"Rigel":
Mettiamola così: considera le due funzioni \( \bar{x}(t) = 0 \), \( x(t) = [(1-\theta) t]^{1/(1-\theta)} \).
Sono entrambe soluzioni del PdC \( x' = x^{\theta} \), \( x(0) = 0 \) (dunque \( h=0 \)). Tuttavia sono distinte, per cui non potrai stimare la loro distanza al tempo \( t \) in funzione della distanza al tempo \( 0 \) (che è nulla).
Io vorrei stimare la distanza fra le soluzioni del PdC con dato iniziale $0$ e con dato iniziale $h \ne 0$, quindi la loro distanza a tempo $0$ non è $0$ ma $h$! Andando al limite per $h$ a $0$ allora si ottiene la contraddizione che dici tu... Ma avrebbe senso un tale limite, visto che per $h$ a zero perdo l'unicità della soluzione??
Chiama \(x_h\) la soluzione del PdC con \(x(0) = h\). Hai che \(x_h(t) \to x(t)\) per \(h\to 0^+\) (dove \(x(t)\) è la soluzione definita nel messaggio precedente).
Per \(t > 0\) fissato hai che
\[
|x_h(t) - \bar{x}(t)| = x_h(t) = \left[ h^{1-\theta} + (1-\theta) t\right]^{1/(1-\theta)}.
\]
Chiaramente ciò è incompatibile con una stima del tipo
\[
|x_h(t) - \bar{x}(t)| \leq \epsilon(h)
\]
con \(\epsilon(h) \to 0\) per \(h\to 0^+\).
Come fatto generale, se non hai unicità non puoi avere dipendenza continua dal dato iniziale (e a maggior ragione non puoi avere stime Hoelderiane o che altro).
Per \(t > 0\) fissato hai che
\[
|x_h(t) - \bar{x}(t)| = x_h(t) = \left[ h^{1-\theta} + (1-\theta) t\right]^{1/(1-\theta)}.
\]
Chiaramente ciò è incompatibile con una stima del tipo
\[
|x_h(t) - \bar{x}(t)| \leq \epsilon(h)
\]
con \(\epsilon(h) \to 0\) per \(h\to 0^+\).
Come fatto generale, se non hai unicità non puoi avere dipendenza continua dal dato iniziale (e a maggior ragione non puoi avere stime Hoelderiane o che altro).
Be si, effettivamente volendo avere la mia stima "utopica" per ogni $0
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