Diseguaglianza con i logaritmi
Salve a tutti,
desideravo sapere se qualcuno di voi sa come dimostrare che [tex]1<\log n< n,\; \forall n\geq 3[/tex].
Chiaramente è facile provare questa affermazione definendo la funzione [tex]f(t)=\log t- t[/tex] e sfruttando i teoremi del calcolo differenziale; mi chiedevo però se la diseguaglianza proposta potesse essere provata senza sfruttare il calcolo differenziale.
Sono arrivato ad un risultato parziale sfruttando la definizione di limite applicata a [tex]\lim_{n} \frac{\log n}{n}=0[/tex] e trovo che, fissato [tex]\epsilon=1[/tex], esiste un certo numero [tex]\nu\in\mathbb{N}[/tex] tale che [tex]|\log n|
Sono forse ad un passo dalla soluzione o sono distante da essa anni luce?
Vi ringrazio anticipatamente.
desideravo sapere se qualcuno di voi sa come dimostrare che [tex]1<\log n< n,\; \forall n\geq 3[/tex].
Chiaramente è facile provare questa affermazione definendo la funzione [tex]f(t)=\log t- t[/tex] e sfruttando i teoremi del calcolo differenziale; mi chiedevo però se la diseguaglianza proposta potesse essere provata senza sfruttare il calcolo differenziale.
Sono arrivato ad un risultato parziale sfruttando la definizione di limite applicata a [tex]\lim_{n} \frac{\log n}{n}=0[/tex] e trovo che, fissato [tex]\epsilon=1[/tex], esiste un certo numero [tex]\nu\in\mathbb{N}[/tex] tale che [tex]|\log n|
Sono forse ad un passo dalla soluzione o sono distante da essa anni luce?
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Prima di tutto deduco dall'esercizio che si sta parlando di un logaritmo naturale, se fosse in base 10 la disuguaglianza non sarebbe vericata per $n>=3$, ma per $n>10$
Per la prima parte della disequazione $11$ da cui $n>e$
Per la seconda parte, se non vuoi usare il calcolo differenziale, non vedo perché impantanarsi con i limiti, propongo una dimostrazione per induzione:
$ln n< n$ equivale a $n
Riassumendo la prima parte della disequazione è vera $AA n in NN ^^ n>e$, la seconda $AA n in NN ^^ n>=1$, quindi $n in NN ^^ n>=3$
Per la prima parte della disequazione $1
Per la seconda parte, se non vuoi usare il calcolo differenziale, non vedo perché impantanarsi con i limiti, propongo una dimostrazione per induzione:
$ln n< n$ equivale a $n
Riassumendo la prima parte della disequazione è vera $AA n in NN ^^ n>e$, la seconda $AA n in NN ^^ n>=1$, quindi $n in NN ^^ n>=3$
Amelia, hai perfettamente ragione. Ragionando per induzione evitiamo di complicarci la vita!
Grazie.
Andrea
Grazie.
Andrea
Noto che l'induzione può anche essere fatta per via diretta.
Invero è \(\ln 3\approx 1.1<3\), e questa è una buona base per l'induzione.
Se, per il passo induttivo, si assume \(\ln n
\begin{split}
\ln (n+1) &= \ln \left[ n\ \left(1+\frac{1}{n}\right)\right] \\
&=\ln n + \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\\
&
\]
in cui l'ultima maggiorazione è giustificata dal fatto che risulta:
\[
1+\frac{1}{n} < e
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
D'altra parte, è \(1<\ln 3\) e il logaritmo è una funzione strettamente crescente; ergo risulta (senza bisogno di alcuna induzione) \(1<\ln n\) per ogni \(n\geq 3\)
Invero è \(\ln 3\approx 1.1<3\), e questa è una buona base per l'induzione.
Se, per il passo induttivo, si assume \(\ln n
\begin{split}
\ln (n+1) &= \ln \left[ n\ \left(1+\frac{1}{n}\right)\right] \\
&=\ln n + \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\\
&
\]
in cui l'ultima maggiorazione è giustificata dal fatto che risulta:
\[
1+\frac{1}{n} < e
\]
per ogni \(n\in \mathbb{N}\).
D'altra parte, è \(1<\ln 3\) e il logaritmo è una funzione strettamente crescente; ergo risulta (senza bisogno di alcuna induzione) \(1<\ln n\) per ogni \(n\geq 3\)
Gugo, ti ringrazio per la risposta! Sfruttando l'induzione risulta tutto più lineare.
Andrea
Andrea
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