Diseguaglianza ambigua con integrali di valori assoluti

[Jeiend]

Salve a tutti. Sicuramente qualcuno di voi avrà le conoscenze per spiegarmi la falsità o veridicità della seguente diseguaglianza:

$ int_(-oo )^(+oo) |x||f(x)||(df)/dx| dx <= (int_(-oo)^(+oo) |xf(x)|^2 dx)^(1/2) (int_(-oo)^(+oo) |(df)/dx|^2 dx)^(1/2) $

Se può aiutare, le ipotesi sono che:
$ f(x), xf(x), (df)/(dx) in L^2(R) $

In realtà nel libro la formula è identica però l'ultimo integrale è senza quadrato, ossia:
$ (int_(-oo)^(+oo) |(df)/dx| dx)^(1/2) $
Ma ho ritenuto fosse un errore di battitura, sbaglio? Credo di no perchè senò per me ha ancora meno senso.

Non per esagerare ma per chi volesse andare oltre e generalizzare spiegarmi perchè dovrebbe valere una cosa TIPO/SIMILE a:
$ int_(a )^(b) |f(x)||g(x)| dx <= (int_(a)^(b) |f(x)|^2 dx)^(1/2) (int_(a)^(b) |g(x)|^2 dx)^(1/2) $
E' forse legato a questa?
$ (f,g)<= ||f||*||g|| $



Grazie in anticipo a chiunque dedicherà del tempo alla questione.

[Jeiend]

up

[dissonance]

Si, l'ultima si chiama [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%E2%80%93Schwarz_inequality#L2]disuguaglianza di Cauchy Schwarz[\url].

[dissonance]

"cheetan":
In realtà nel libro la formula è identica però l'ultimo integrale è senza quadrato, ossia:
$ (int_(-oo)^(+oo) |(df)/dx| dx)^(1/2) $
Ma ho ritenuto fosse un errore di battitura, sbaglio?

Si è un errore. Te ne puoi accorgere facendo un cambio di scala. Se $f\ne 0$ verifica la disuguaglianza, allora anche $2f$ deve verificarla. Ma sostituendo trovi che
\[
2^2(\ldots)\le 2\sqrt{2}(\ldots)
\]
I due membri della disuguaglianza cambiano scala in modo diverso. Chiara spia che qualcosa non va: basta considerare $2^nf$ per ottenere, ragionando come prima,
\[
2^{2n}(\ldots)\le 2^{\frac{3}{2}n}(\ldots)\]
e per $n$ abbastanza grande questa disuguaglianza non può essere vera.