Disegno di un insieme di livello
Salve a tutti! Sono alle prese con il seguente esercizio:
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Il primo punto l'ho risolto nel seguente modo (non sono sicuro vada bene!):
f(a) = $((0),(0))$
LS[f, f(a)] = Ls [f, $((0),(0))$] = { x € $ R^3$ : f1(x)=0, f2(x)=0 }
Il sottospazio tangente a LS sarà dato dall'intersezione di S1 e S2 dove:
Equazione S1 : < $\nabla$f1 , x - a >
Equazione S2: < < $\nabla$f2 , x - a >
Calcolo i gradienti ed ottengo come sottospazio tangente l'intersezione tra S1 e S2, ovvero:
{ x1-1 = 0 , x2 - 2$\pi$ x3 = 0
Lo spazio tangente ha quindi dim =2
Lo spazio ortogonale (che è una retta) è dato da :
a + t $\nabla$f1 + s $\nabla$f2
con t, s parametri reali
Ora devo disegnare l'insieme di livello, ma non mi è chiaro come si procede... LS dovrebbe essere una curva in $ R^3$ , ma sinceramente non ho capito come si disegna.
Se qualcuno mi potesse dare una mano ( e magari dare un'occhiata anche al punto 1, visto che non sono sicuro sia corretto) gliene sarei grato
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Il primo punto l'ho risolto nel seguente modo (non sono sicuro vada bene!):
f(a) = $((0),(0))$
LS[f, f(a)] = Ls [f, $((0),(0))$] = { x € $ R^3$ : f1(x)=0, f2(x)=0 }
Il sottospazio tangente a LS sarà dato dall'intersezione di S1 e S2 dove:
Equazione S1 : < $\nabla$f1 , x - a >
Equazione S2: < < $\nabla$f2 , x - a >
Calcolo i gradienti ed ottengo come sottospazio tangente l'intersezione tra S1 e S2, ovvero:
{ x1-1 = 0 , x2 - 2$\pi$ x3 = 0
Lo spazio tangente ha quindi dim =2
Lo spazio ortogonale (che è una retta) è dato da :
a + t $\nabla$f1 + s $\nabla$f2
con t, s parametri reali
Ora devo disegnare l'insieme di livello, ma non mi è chiaro come si procede... LS dovrebbe essere una curva in $ R^3$ , ma sinceramente non ho capito come si disegna.
Se qualcuno mi potesse dare una mano ( e magari dare un'occhiata anche al punto 1, visto che non sono sicuro sia corretto) gliene sarei grato
Risposte
Guarda, io ne so meno di te 
, però mi sono appassionato un attimo a questo esercizio.
Abbiamo una funzione definita in uno spazio 3D che restituisce 2 numeri reali (un vettore di due).
Vedo che la prima funzione manca del termine $x_2$, quindi se sono in $a$ e mi muovo lungo la direzione $x_2$ la funzione 1 non può cambiare. Per cui la sua linea di livello sarà $x_1=1, x_3=0$
Per la funzione 2 simile a prima, la sua curva di livello sara $x_2=0, x_3=0$
Per cui il piano tangente sarà parallelo al piano $x_1,x_2$ e la retta ortogonale sarà ortogonale a quel piano.
Ma non so se sto dicendo cose sensate, non prendere per buono le mie considerazioni, magari interviene dopo qualcuno più esperto.
, però mi sono appassionato un attimo a questo esercizio.Abbiamo una funzione definita in uno spazio 3D che restituisce 2 numeri reali (un vettore di due).
Vedo che la prima funzione manca del termine $x_2$, quindi se sono in $a$ e mi muovo lungo la direzione $x_2$ la funzione 1 non può cambiare. Per cui la sua linea di livello sarà $x_1=1, x_3=0$
Per la funzione 2 simile a prima, la sua curva di livello sara $x_2=0, x_3=0$
Per cui il piano tangente sarà parallelo al piano $x_1,x_2$ e la retta ortogonale sarà ortogonale a quel piano.
Ma non so se sto dicendo cose sensate, non prendere per buono le mie considerazioni, magari interviene dopo qualcuno più esperto.
L'insieme di livello dovrebbe essere una curva, quindi lo spazio tangente dovrebbe avere dimensione $1$.
$ f(x_1, x_2, x_3) = ( ( x_1 - cos 2pi x_3 ),( x_2 - sin 2pi x_3 ) ) $
Quindi se si pone $f(x_1, x_2, x_3) = ((0),(0))$ allora si ha che $x_1 = cos 2pi x_3$ e $x_2 = sin 2pi x_3$.
Ora se chiamiamo $\theta = 2 pi x_3$ abbiamo che la superficie di livello è la superficie definita parametricamente come:
$ { ( x_1 & =& cos theta ),( x_2& =& sen theta ),( x_3 &=& theta/(2pi) ):} $
Mi sembra evidente che la superficie di livello è un'elica circolare di passo $1$. http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_elicoidale_uniforme
Il cui spazio tangente è la retta tangente alla curva e lo spazio ortogonale è dato dai vettori normale e binormale alla curva.
Quindi se si pone $f(x_1, x_2, x_3) = ((0),(0))$ allora si ha che $x_1 = cos 2pi x_3$ e $x_2 = sin 2pi x_3$.
Ora se chiamiamo $\theta = 2 pi x_3$ abbiamo che la superficie di livello è la superficie definita parametricamente come:
$ { ( x_1 & =& cos theta ),( x_2& =& sen theta ),( x_3 &=& theta/(2pi) ):} $
Mi sembra evidente che la superficie di livello è un'elica circolare di passo $1$. http://it.wikipedia.org/wiki/Moto_elicoidale_uniforme
Il cui spazio tangente è la retta tangente alla curva e lo spazio ortogonale è dato dai vettori normale e binormale alla curva.
in questi giorni ho approfondito l'argomento, adesso ho le idee un pò più chiare (ed ho passato lo scritto di analisi II! )
grazie a tutti per l'aiuto
)grazie a tutti per l'aiuto
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