Disegno di funzione

[Sandsky90]

Ciao ragazzi, voi che ragionamento seguireste per disegnare le seguenti funzioni?

1) $sin(arccos(x))$

2) $arccos(sin(x))$

Io pensavo banalmente a sostituire dei valori per ricavarmi la rispettiva immagine, ma non penso sia il metodo corretto.
Saluti Emanuele

[salvozungri]

In entrambi i casi per disegnare il grafico di una funzione è necessario fare uno studio di funzione.
Nel primo caso è comunque possibile ricondursi alla funzione $\sqrt(1-x^2)$.
$f(x)= sin(arccos(x))= sqrt(1-x^2)$ con $x\in [-1,1]$. Il grafico della funzione $sqrt(1-x^2)$ è dato dai punti che si trovano sulla semicirconferenza di raggio 1 e centro in $(0,0)$, essa giace nel 1° e 2° quadrante.
Ad ogni modo consiglio di fare uno studio di funzione completo. E' sempre utile esercitarsi

[Sandsky90]

Ah grazie, ma scusa l'ingoranza nel primo caso come faccio ad arrivare alla forma $sqrt(1-x^2)$

[salvozungri]

Potresti usare la relazione fondamentale:

$sin^2(z)+cos^2(z)=1$ con $z= arccos(x)$
cosicchè tu possa raggiungere la relazione scritta. Provaci, se non ci riesci posta di nuovo che scrivo i passaggi

Hint: Ricordando che $arccos:[-1,1]\rightarrow [0, \pi] $ è la funzione inversa del coseno ristretto all'intervallo $[0, \pi]$ si ha che ...

[size=75][Edit]: commesso un errore di codominio... Dove ho la testa? [/size]

[Sandsky90]

Ah sisi ho capito il passaggio, basta in sostanza ricavare il coseno dal seno, e semplificare. Grazie per l'aiuto.
Mentre per la seconda non c'è modo di semplificare? perchè l'esericizio non appariva sotto gli studi di funzione...

[salvozungri]

No aspetta, potresti scrivere i passaggi? Non mi è chiaro come procedi

[Sandsky90]

Allora $z=arccos(x)$

quindi $sin(z) = sqrt(1-(cos(z))^2)$ da cui $cos(arccos(x))=x$ e quindi ricavo $y=sqrt(1-x^2)$

giusto?

[salvozungri]

"Sandsky90":Allora $z=arccos(x)$

quindi $sin(z) = sqrt(1-(cos(z))^2)$ da cui $cos(arccos(x))=x$ e quindi ricavo $y=sqrt(1-x^2)$

giusto?

Attenzione a come usi le parole, quel "da cui" sembrerebbe che da $sin(z)= sqrt(1-cos^2(z))$ tu ottenga $cos(arccos(x))=x$, quando in realtà tu stai utilizzando quest'ultima informazione per poter scrivere che $sin(arccos(x))= sqrt(1-x^2)$. Oltre questa piccola parentesi di tipo semantico, il ragionamento è quello .

Per quanto riguarda la seconda potremmo ragionare in questo modo:

$arccos(z)= \pi/2 - arcsin(z)$ (questa uguaglianza è vera proprio per la defizione delle funzioni inverse), prendendo $z= sin(x)$ otteniamo che:

$arccos(sin(x))= \pi/2 - arcsin(sin(x)) = \pi/2 -x$ con $x\in [-\pi/2, \pi/2]$
Ho scelto questo intervallo perchè la funzione $arcsin:[-1,1]\rightarrow[-pi/2,pi/2]$ è l'inversa della funzione $sin(x)$ per $x\in [-pi/2,pi/2]$ se però dovessimo lavorare su tutto $RR$ credo che bisognerebbe fare qualche passaggio in più