Disegnare una curva e calcolarne lunghezza
Buonasera a tutti. In un esercizio mi viene chiesto di disegnare a calcolare la lunghezza delle seguenti curve:
$\{(x(t) = e^t -1),(y(t)= (e^t -1)^2), (t in [0, log2]):}$
$\{(x(t) = e^t + e^-t),(y(t) = e^t - e^-t),(t in [-2, 1]):}$
Non ho assolutamente idea di come disegnarle. Ho pensato che la prima delle due curve è riconducibile ad un segmento di parabola, e la seconda a seno e coseno iperbolico, ma non so andare avanti.
Poi per la lunghezza ho dei problemi a svolgere gli integrali. Riguardo la prima curva arrivo a:
$\int_sqrt(4x^2-8x+5)dx$ dopo aver posto $e^t=x$ ma non so come andare avanti ne se sto percorrendo la strada più conveniente.
Per la seconda mi conviene lasciare tutto in funzione di $e^t$ oppure passare a $2senh$ e $2cosh$?
$\{(x(t) = e^t -1),(y(t)= (e^t -1)^2), (t in [0, log2]):}$
$\{(x(t) = e^t + e^-t),(y(t) = e^t - e^-t),(t in [-2, 1]):}$
Non ho assolutamente idea di come disegnarle. Ho pensato che la prima delle due curve è riconducibile ad un segmento di parabola, e la seconda a seno e coseno iperbolico, ma non so andare avanti.
Poi per la lunghezza ho dei problemi a svolgere gli integrali. Riguardo la prima curva arrivo a:
$\int_sqrt(4x^2-8x+5)dx$ dopo aver posto $e^t=x$ ma non so come andare avanti ne se sto percorrendo la strada più conveniente.
Per la seconda mi conviene lasciare tutto in funzione di $e^t$ oppure passare a $2senh$ e $2cosh$?
Risposte
Ok, forse ho risolto per la lunghezza. Prendiamo ad esempio la prima curva. Basta che io espliciti il parametro $t$ da una delle due equazioni e lo vado a sostituire nell'altra in modo da ottenere l'equazione cartesiana della curva in forma implicita. Può andare? Restano però i dubbi sui due integrali!!
Ma il problema qual è? La regola per calcolare la lunghezza o il calcolo degli integrali? Mi scrivi cosa devi calcolare?
Esplicitare il parametro in funzione (ad esempio) della x, va bene. In questo modo hai l'equazione cartesiana e sai sicuramente disegnare la curva. Per l'integrale, qual è il problema?
Edit: mi pareva strano che Ciampax non avesse fatto prima
Edit: mi pareva strano che Ciampax non avesse fatto prima
Il problema riguarda ahimè la risoluzione dei due integrali. Il primo sta scritto sul post iniziale: dopo aver posto $e^t=x$ e aver operato alcune semplificazioni arrivo a $\int sqrt(4x^2-8x+5) dx$ ma non so come andare avanti. Per il secondo integrale Ho riconosciuto le due equazioni essere una $2cosh(t)$ e l'altra $2senh(t)$. Ho calcolato le derivate prime che poi ho elevato al quadrato e ottengo: $\int 2*sqrt((cosh(t))^2 + (senh(t))^2 dt$. E qui mi fermo.
La prima è un integrale di funzione irrazionale che si risolve in maniera standard: puoi scrivere
[tex]$4x^2-8x+5=4(x^2-2x)+5=4(x^2-2x+1)-4+5=4(x-1)^2+1$[/tex]
e a questo punto porre nuovamente [tex]$\sinh y=2(x-1)$[/tex]. (Osserva che con il passaggio da $t$ a $x$ gli estremi diventano $0\to 1,\ \log 2\to 2$, quindi anche con questa nuova sostituzione puoi modificare gli estremi).
Per il secondo ci penso un po' su perché sotto radice mi resta una cosa un po' antipatica.
[tex]$4x^2-8x+5=4(x^2-2x)+5=4(x^2-2x+1)-4+5=4(x-1)^2+1$[/tex]
e a questo punto porre nuovamente [tex]$\sinh y=2(x-1)$[/tex]. (Osserva che con il passaggio da $t$ a $x$ gli estremi diventano $0\to 1,\ \log 2\to 2$, quindi anche con questa nuova sostituzione puoi modificare gli estremi).
Per il secondo ci penso un po' su perché sotto radice mi resta una cosa un po' antipatica.
Grazie mille ciampax. Riguardo il secondo magari conveniva lasciare tutto in funzione di $e^t$ anzichè scomodare le funzioni iperboliche? Che ne pensi?
Il secondo è una brutta bestia. Sei sicuro che sia quella la traccia? Perché al momento mi viene fuori una funzione ellittica che non è proprio la cosa più semplice da integrare (con metodi standard, diciamo).
Si, la traccia è quella. Domani appena posso ne parlo con la professoressa. Grazie mille. Davvero!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo