Disegnare grafico di una equazione con variabili non isolabili
Salve,
mi stavo chiedendo come sia possibile disegnare un grafico di una curva rappresentata dalle soluzioni di un'equazione avente variabili non isolabili. Diciamo una equazione in cui non si possibile esprimere un delle 2 variabili in funzione dell'altra.
Faccia l'esempio di una pagina in cui mi sono imbattuto: http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html
Quella pagina contiene ad esempio la funzione \(\displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2 y^3 = 0 \) che genera il grafico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28x^2%2By^2-1%29^3-x^2y^3%3D0
L'unico modo che mi viene in mente è scegliere una variabile indipendente e poi casualmente assegnare opportuni valor all'altra per cercare di avvicinarsi il più possibile alla soluzione, ma sarebbe terribilmente inefficiente. Non credo che wolframalpha utilizzi algoritmi del genere.
La domanda quindi è, come si fa a disegnare il luogo di punti che soddisfi una qualunque equazione in 2 variabili? Va bene anche se solamente mi consigliate qualcosa da leggere o mi suggerite il nome di qualche metodo sistematico.
[ot]Il comando BBCode url non funziona bene.[/ot]
mi stavo chiedendo come sia possibile disegnare un grafico di una curva rappresentata dalle soluzioni di un'equazione avente variabili non isolabili. Diciamo una equazione in cui non si possibile esprimere un delle 2 variabili in funzione dell'altra.
Faccia l'esempio di una pagina in cui mi sono imbattuto: http://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html
Quella pagina contiene ad esempio la funzione \(\displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2 y^3 = 0 \) che genera il grafico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28x^2%2By^2-1%29^3-x^2y^3%3D0
L'unico modo che mi viene in mente è scegliere una variabile indipendente e poi casualmente assegnare opportuni valor all'altra per cercare di avvicinarsi il più possibile alla soluzione, ma sarebbe terribilmente inefficiente. Non credo che wolframalpha utilizzi algoritmi del genere.
La domanda quindi è, come si fa a disegnare il luogo di punti che soddisfi una qualunque equazione in 2 variabili? Va bene anche se solamente mi consigliate qualcosa da leggere o mi suggerite il nome di qualche metodo sistematico.
[ot]Il comando BBCode url non funziona bene.[/ot]
Risposte
In tutta onestà non saprei dirti che tipo di algoritmo utilizzi Wolfram (o altro software CAS) per il plot di grafici di quel tipo...
Poi non ho capito cosa cerchi di affermare qui:
Se scegli una delle due variabili come indipendente, l'altra diventa dipendente da essa, per quanto non sia necessariamente possibile scrivere una relazione $y=y(x)$ (non essendo infatti in presenza di una funzione). Tuttavia fissatone un valore, l'altro è ricavabile come soluzione di un'equazione in una incognita (che poi questa, a causa del suo grado e/o forma, possa non essere risolta per via algebrica ma solo per via numerica è un altro paio di maniche...).
Provo a fare un esempio sulla curva da te indicata.
Se in \( \displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2 y^3 = 0 \) poniamo $x=1$ risulta $y^6-y^3=0$, ossia le coppie $(1,0)$ e $(1,1)$, che sono due punti della curva.
Si potrebbe obiettare però che in questa forma non sappiamo valutare quali valore assegnare ad $x$ per trovare le $y$ relative (in altri termini, quali sono i valori di $x$ a cui corrisponde un'equazione in $y$ a radici reali? - Nel tuo esempio per $x=2$ non ci sono valori $y$ reali in corrispondenza). Dobbiamo valutare ogni $x in RR$?
Per ovviare al problema puoi scrivere la curva parametrizzata in coordinate polari $\{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta):}$ ottenendo $(\rho^2-1)^3-\rho^5\sin^3\theta\cos^2\theta=0$.
Con questa espressione si valuta la distanza dall'origine $\rho$ variando l'angolo $\theta$ nell'intervallo limitato $[0,2pi)$ e ricordando che $\rho>=0$.
Poi non ho capito cosa cerchi di affermare qui:
"biowep":
L'unico modo che mi viene in mente è scegliere una variabile indipendente e poi casualmente assegnare opportuni valor all'altra per cercare di avvicinarsi il più possibile alla soluzione, ma sarebbe terribilmente inefficiente.
Se scegli una delle due variabili come indipendente, l'altra diventa dipendente da essa, per quanto non sia necessariamente possibile scrivere una relazione $y=y(x)$ (non essendo infatti in presenza di una funzione). Tuttavia fissatone un valore, l'altro è ricavabile come soluzione di un'equazione in una incognita (che poi questa, a causa del suo grado e/o forma, possa non essere risolta per via algebrica ma solo per via numerica è un altro paio di maniche...).
Provo a fare un esempio sulla curva da te indicata.
Se in \( \displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2 y^3 = 0 \) poniamo $x=1$ risulta $y^6-y^3=0$, ossia le coppie $(1,0)$ e $(1,1)$, che sono due punti della curva.
Si potrebbe obiettare però che in questa forma non sappiamo valutare quali valore assegnare ad $x$ per trovare le $y$ relative (in altri termini, quali sono i valori di $x$ a cui corrisponde un'equazione in $y$ a radici reali? - Nel tuo esempio per $x=2$ non ci sono valori $y$ reali in corrispondenza). Dobbiamo valutare ogni $x in RR$?
Per ovviare al problema puoi scrivere la curva parametrizzata in coordinate polari $\{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta):}$ ottenendo $(\rho^2-1)^3-\rho^5\sin^3\theta\cos^2\theta=0$.
Con questa espressione si valuta la distanza dall'origine $\rho$ variando l'angolo $\theta$ nell'intervallo limitato $[0,2pi)$ e ricordando che $\rho>=0$.
"biowep":
Salve,
mi stavo chiedendo come sia possibile disegnare un grafico di una curva rappresentata dalle soluzioni di un'equazione avente variabili non isolabili.
Si tratta dello studio delle curve algebriche piane e fa parte del programma di geometria 2 per matematici, digitando la voce curve algebriche piane su google trovi varie dispense sull'argomento.
Il tutto è piuttosto laborioso e di non semplice comprensione. Generalmente si opta per un'esplicitazione a tratti della funzione. Ad esempio quella che hai postato si può esplicitare
\(\displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2 y^3 = 0 \)
\(\displaystyle (x^2+y^2-1)^3 = x^2 y^3 \)
$ root (3)((x^2+y^2-1)^3) = root (3)(x^2 y^3) $
$ x^2+y^2-1= root (3)(x^2 ) y $
$ y^2 - root (3)(x^2 ) y+x^2-1= 0$, da cui si può ricavare la $y$ utilizzando le formule per le equazioni di secondo grado:
$y= (root (3)(x^2 ) +- sqrt(root (3)(x^4 )-4x^2+4))/2$
ottenendo le due funzioni, che possono essere studiate con i metodi ordinari,
$y= (root (3)(x^2 ) - sqrt(root (3)(x^4 )-4x^2+4))/2$ e $y= (root (3)(x^2 ) + sqrt(root (3)(x^4 )-4x^2+4))/2$
@"@melia"
A quanto pare questa era comunque esprimibile tramite funzioni, forse ho sbagliato a proporla come esempio
Studierò comunque l'argomento che hai suggerito.
Purtroppo mi sono espresso male ma deduco dalla risposta che hai capito comunque quello che intendevo: cioè assegnare dei valori ad una variabile (che impropriamente ho chiamato "indipendente") per ottenere un'equazione con una sola incognita in modo da risolverla numericamente.
Questo mi sembra estremamente utile.
Ultima domanda noob: come si deve procedere per ottenere dei punti ad una distanza fissa uno dall'altro. Pensa ad esempio se avessi una curva che si avvicina (in un tratto) ad una retta orizzontale o verticale. Per certi intervalli di variazione dell'angolo otterrei dei punti molto vicini tra loro mentre per altri intervalli di variazione i punti sarebbero lontani. O più semplicemente se la curva si allontana dall'origine, a parità di variazione dell'angolo polare avrei una maggiore distanza tra i punti consecutivi.
A quanto pare questa era comunque esprimibile tramite funzioni, forse ho sbagliato a proporla come esempio
Studierò comunque l'argomento che hai suggerito.
"dott.ing":
Poi non ho capito cosa cerchi di affermare qui
Purtroppo mi sono espresso male ma deduco dalla risposta che hai capito comunque quello che intendevo: cioè assegnare dei valori ad una variabile (che impropriamente ho chiamato "indipendente") per ottenere un'equazione con una sola incognita in modo da risolverla numericamente.
"dott.ing":
Per ovviare al problema puoi scrivere la curva parametrizzata in coordinate polari
Questo mi sembra estremamente utile.
Ultima domanda noob: come si deve procedere per ottenere dei punti ad una distanza fissa uno dall'altro. Pensa ad esempio se avessi una curva che si avvicina (in un tratto) ad una retta orizzontale o verticale. Per certi intervalli di variazione dell'angolo otterrei dei punti molto vicini tra loro mentre per altri intervalli di variazione i punti sarebbero lontani. O più semplicemente se la curva si allontana dall'origine, a parità di variazione dell'angolo polare avrei una maggiore distanza tra i punti consecutivi.
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