Disegnare grafici di funzioni

[chihoha]

Ciao!
1) mi sapreste dire qualche modo veloce per disegnare grafici partendo da quelli noti? Intendo: da f(x), f(x+k), f(kx), kf(x), ecc.
2) ho sentito un professore che diceva: prima di derivare, studiate dove si puo' derivare... ma che significa?

[anto_zoolander]

"chihoha":Ciao!
1) mi sapreste dire qualche modo veloce per disegnare grafici partendo da quelli noti? Intendo: da f(x), f(x+k), f(kx), kf(x), ecc.

$f(x+k)$ è una traslazione orizzontale

$f(x)+k$ è una traslazione verticale

$f(kx)$ è una contrazione orizzontale
In particolare
- per $-1dilatazione
segue il caso $f(x/k)$

$kf(x)$ è una dilatazione verticale
In particolare
- per $-1 segue il caso $f(x)/k$

"chihoha":2) ho sentito un professore che diceva: prima di derivare, studiate dove si puo' derivare... ma che significa?

step 1
condizione necessaria per la derivabilità è la continuità

quindi in sostanza se ti chiede di controllare dove è derivabile, devi prima controllare dove è continua.

Sia $f={(x,y):x inX, yinRR, y=f(x)}$ una funzione e $x_0inX$ un punto interno al dominio(di accumulazione ovviamente). Se esiste finito:

$lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)f(x)=l$ e $f(x_0)=l$ allora $f$ è continua in $x_0$


Verificato questo si può passare allo step 2
ora per una funzione essere derivabile, deve esistere finito il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra di $x_0$

$lim_(x->h^-)(f(x+h)-f(x))/h=lim_(x->h^+)(f(x+h)-f(x))/h$

infatti ti riporto il classico esempio:

$f(x)=|x|$ la funzione è ovviamente continua in $x=0$ ma non è derivabile poiché:

$lim_(h->0^-)(|x+h|-|x|)/h=lim_(h->0^+)(|x+h|-|x|)/h$

$lim_(h->0^-)(|0+h|-|0|)/h=lim_(h->0^+)(|0+h|-|0|)/h$

$lim_(h->0^-)|h|/h=lim_(h->0^+)|h|/h$ si ottiene quindi $[-1]ne[1]$

quindi la funzione non è derivabile in $x=0$

infatti $f'(x)=sign(x)=x/|x|$

geometricamente questo si traduce nel fatto che in un intorno del punto $x=0$ le rette tangenti assumono due pendenze diverse, quindi non si può stabilire effettivamente quanto valga in $x=0$

in sostanza se ti chiede di controllare se la funzione è derivabile devi controllare:
prima dove è continua e poi se la derivata ha "punti di discontinuità" che si chiamano:
punti angolosi
cuspidi
flessi a tangente verticale

[chihoha]

"anto_zoolander":[quote="chihoha"]Ciao!
1) mi sapreste dire qualche modo veloce per disegnare grafici partendo da quelli noti? Intendo: da f(x), f(x+k), f(kx), kf(x), ecc.

$f(x+k)$ è una traslazione orizzontale

$f(x)+k$ è una traslazione verticale

$f(kx)$ è una dilatazione orizzontale
In particolare
- per $-1 segue il caso $f(x/k)$

$kf(x)$ è una dilatazione verticale
In particolare
- per $-1 segue il caso $f(x)/k$

"chihoha":2) ho sentito un professore che diceva: prima di derivare, studiate dove si puo' derivare... ma che significa?

step 1
condizione necessaria per la derivabilità è la continuità

quindi in sostanza se ti chiede di controllare dove è derivabile, devi prima controllare dove è continua.

Sia $f={(x,y):x inX, yinRR, y=f(x)}$ una funzione e $x_0inX$ un punto interno al dominio(di accumulazione ovviamente). Se esiste finito:

$lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)f(x)=l$ e $f(x_0)=l$ allora $f$ è continua in $x_0$


Verificato questo si può passare allo step 2
ora per una funzione essere derivabile, deve esistere finito il limite del rapporto incrementale a destra e sinistra di $x_0$

$lim_(x->h^-)(f(x+h)-f(x))/h=lim_(x->h^+)(f(x+h)-f(x))/h$

infatti ti riporto il classico esempio:

$f(x)=|x|$ la funzione è ovviamente continua in $x=0$ ma non è derivabile poiché:

$lim_(h->0^-)(|x+h|-|x|)/h=lim_(h->0^+)(|x+h|-|x|)/h$

$lim_(h->0^-)(|0+h|-|0|)/h=lim_(h->0^+)(|0+h|-|0|)/h$

$lim_(h->0^-)|h|/h=lim_(h->0^+)|h|/h$ si ottiene quindi $[-1]ne[1]$

quindi la funzione non è derivabile in $x=0$

infatti $f'(x)=sign(x)=x/|x|$

geometricamente questo si traduce nel fatto che in un intorno del punto $x=0$ le rette tangenti assumono due pendenze diverse, quindi non si può stabilire effettivamente quanto valga in $x=0$

in sostanza se ti chiede di controllare se la funzione è derivabile devi controllare:
prima dove è continua e poi se la derivata ha "punti di discontinuità" che si chiamano:
punti angolosi
cuspidi
flessi a tangente verticale[/quote]

Bella risposta, grazie!!!

[orsoulx]

"anto_zoolander": $f(kx) $ è una dilatazione orizzontale
In particolare
- per $ −1 segue il caso $ f(x/k) $

$ kf(x) $ è una dilatazione verticale
In particolare
- per $ −1 segue il caso $ {f(x)}/k $

Una delle due deve essere errata. Quale?
Ciao
B.

[anto_zoolander]

La prima.
Ho copia incollato in maniera da non meritare perdono

si ha dilatazione per $-1
Grazie per avermelo fatto notare