Disegnare e segno funzione due var

[xkeccox]

ciao a tutti, ho dei seri problemi con le funzioni a due variavili, non riesco infatti, data la funzione a riuscire a immaginare o a disegnare la funzione se è a due variabili e come procedere per effettuare lo studio del segno.
Esempio data la funzione (x^2*y)/(y^2-1) studiare i massimi e minimi. Ho calcolato il gradiente e per (0,0) si annulla; ora però il determinante della matrice hessiana risulta nullo in (0,0) quindi non posso applicare la condizione sufficiente. ora per vedere se in (0,0) c'è estremo studio Df=f(x,y)-f(x0,y0) ed essentìdo f(x0,y0) nullo Df=f(x,y); ora dovrei studiare nell'intorno di (0,0) se la funzione è solo positiva o solo negativa ed ecco il problema : non riesco ad effettuare alcuno studio di segno di una funzione a due variabili..qualcuno può provare a chiarirmi un po le idee?? Grazie

[gugo82]

Come faresti se quella fosse una funzione fratta di un'unica variabile?

[xkeccox]

che intendi per "unica variabile" intendi "trasformare" (x^2*y)/(y^2-1) in (x^2*x)/(x^2-1) oppure esplicitare rispetto a una variabile...scusami se ho detto qualche grande sciocchezza ma davvero sono alle primissime armi..
cmq se fosse una fratta in una sola variabile stuierei il segno del denominatore e del numeratore per poi metterli in un grafico e vede quando entrambe sono potive (-- oppure ++)

[gugo82]

"Di Napoli":cmq se fosse una fratta in una sola variabile stuierei il segno del denominatore e del numeratore per poi metterli in un grafico e vede quando entrambe sono potive (-- oppure ++)

Ecco, intendevo appunto questo.

Prova a farlo anche qui.
L'unica cosa che cambia è la rappresentazione dei risultati. Infatti, mentre quando hai un'unica variabile metti tutto su una retta (che poi sarebbe la retta dei numeri reali), quando hai due variabili devi usare giocoforza il piano cartesiano per rappresentare le zone di positività e negatività dei vari fattori.
Comincia a risolvere lo studio del segno dei tre fattori (cioé i due che compaiono a numeratore e quello che compare al denominatore) e poi vediamo come terminare.


P.S.: Non preoccuparti: è più facile di quanto sembri.

[xkeccox]

vediamo se ho ben capito, studio il segno di x^2 poi quello di y e poi quello di y^2-1 come se fossero singolarmente delle funzioni..poi farò qualcosa di analogo a quello che facevo con la retta..ovvero il segno della funzione in ogni quadrante sarà dato dalla "somma dei segni" delle funzioni che la compongono...ho detto giusto?!

[gugo82]

Yes, of course!

Vedi che non è difficile.

[xkeccox]

grazie sei stato gentilissimo.
ultima curiosità se invece avessi la funzione x^2-y/y^2-1 studierei il segno di f(x) come funzione a una sola variabile mentre il numeratore farei y=x^2 e la studierei comunque come una parabola cioè come y=f(x)=x^2??

[gugo82]

Facciamo il caso che hai detto per ultimo, cioé
\[
f(x,y) := \frac{x^2-y}{y^2-1}\; ,
\]
funzione definita in \(\mathbb{R}^2\) privato delle rette di equazione \(y=\pm 1\).
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
line([-6,1],[6,1]); line([-6,-1],[6,-1]);[/asvg]
Per studiare il segno di \(f\), studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore, e poi mettiamo insieme le cose con la regola dei segni.
Il numeratore è \(x^2-y\) e si ha:
\[
x^2-y\geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad y\leq x^2\; ;
\]
graficamente ciò significa che il numeratore è \(\geq 0\) se il punto \((x,y)\) sta sotto la parabola di equazione \(y=x^2\), quindi abbiamo il seguente grafico dei segni:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("x^2");
text([-3.5,-0.5],"+"); text([-1.5,-0.5],"+"); text([0.5,-0.5],"+"); text([2.5,-0.5],"+");
text([-2.5,-2.5],"+"); text([-0.5,-2.5],"+"); text([1.5,-2.5],"+"); text([3.5,-2.5],"+");
text([-2.5,0.5],"+"); text([1.5,0.5],"+"); text([-3.5,0.5],"+"); text([3.5,0.5],"+");
text([-2.5,2.5],"+"); text([2.5,2.5],"+");
text([-0.5,0.5],"-"); text([0.5,0.5],"-"); text([-1,2.5],"-"); text([1,2.5],"-");[/asvg]
D'altro canto, il denominatore è \(y^2-1\) e si ha:
\[
y^2-1 \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad y\geq 1 \text{ o } y\leq -1\; ;
\]
graficamente ciò significa che il denominatore è \(\geq 0\) se il punto \((x,y)\) sta sotto la retta di equazione \(y=-1\) oppure se esso sta sopra le retta d'equazione \(y=1\), quindi abbiamo il seguente grafico dei segni:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
line([-6,1],[6,1]); line([-6,-1],[6,-1]);
text([-3.5,-0.5],"-"); text([-1.5,-0.5],"-"); text([0.5,-0.5],"-"); text([2.5,-0.5],"-");
text([-2.5,-2.5],"+"); text([-0.5,-2.5],"+"); text([1.5,-2.5],"+"); text([3.5,-2.5],"+");
text([-2.5,0.5],"-"); text([-0.5,0.5],"-"); text([1.5,0.5],"-"); text([3.5,0.5],"-");
text([-3.5,2.5],"+"); text([-1.5,2.5],"+"); text([0.5,2.5],"+"); text([2.5,2.5],"+");[/asvg]
Riportando i tre grafici parziali su uno stesso grafico ed usando la regola dei segni otteniamo:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
plot("x^2");
stroke="black";
line([-6,1],[6,1]); line([-6,-1],[6,-1]);
text([-3.5,-0.5],"-"); text([-1.5,-0.5],"-"); text([0.5,-0.5],"-"); text([2.5,-0.5],"-");
text([-2.5,-2.5],"+"); text([-0.5,-2.5],"+"); text([1.5,-2.5],"+"); text([3.5,-2.5],"+");
text([-2.5,0.5],"-"); text([1.5,0.5],"-"); text([-3.5,0.5],"-"); text([3.5,0.5],"-");
text([-2.5,2.5],"+"); text([2.5,2.5],"+");
text([-0.5,0.5],"+"); text([0.5,0.5],"+"); text([-1,2.5],"-"); text([1,2.5],"-");[/asvg]
quindi la funzione è \(\geq 0\) nell'insieme:
\[
\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ y< -1\} \cup \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ 1 \]
e negativa altrove; inoltre, la \(f\) si annulla sui punti della parabola di equazione \(y=x^2\) appartenenti al dominio (segnati in rosso nell'ultimo grafico).

[xkeccox]

G R A Z I E tutto chiaro ora