Discutere un limite al variare di un parametro
Ciao a tutti, rieccomi con un nuovo esercizio, spero di non annoiarvi 
Ecco la traccia:
Al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \), studiare il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x^2+\sqrt{x}+4}-2}{2 \text{Sin}^2 x+x^{\alpha }+x^3} \)
inizio col dire che ho tentato di semplificare il limite ma senza molto successo
Ciò che ho fatto è spezzare il limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x^2+\sqrt{x}+4}}{2 \text{Sin}^2 x+x^{\alpha }+x^3}-2 \left(\lim_{x\to 0^+} \, \frac{1}{2 \text{Sin}^2 x+x^{\alpha }+x^3}\right) \)
come potrei procedere? Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Ecco la traccia:Al variare del parametro \(\displaystyle \alpha \), studiare il seguente limite:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x^2+\sqrt{x}+4}-2}{2 \text{Sin}^2 x+x^{\alpha }+x^3} \)
inizio col dire che ho tentato di semplificare il limite ma senza molto successo
Ciò che ho fatto è spezzare il limite:\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x^2+\sqrt{x}+4}}{2 \text{Sin}^2 x+x^{\alpha }+x^3}-2 \left(\lim_{x\to 0^+} \, \frac{1}{2 \text{Sin}^2 x+x^{\alpha }+x^3}\right) \)
come potrei procedere? Grazie in anticipo per il vostro aiuto!
Risposte
penso che questo suggerimento possa esserti d'aiuto:
il numeratore può essere scritto nella forma $(x^2+sqrtx)/(sqrt(x^2+sqrtx+4)+2)$
e quindi è un infinitesimo di ordine $1/2$ per $x rarr 0$
il numeratore può essere scritto nella forma $(x^2+sqrtx)/(sqrt(x^2+sqrtx+4)+2)$
e quindi è un infinitesimo di ordine $1/2$ per $x rarr 0$
Spezzare il limite è controproducente, in quanto porta alla forma $+oo-oo$, segui il consiglio di stormy.
Anzitutto grazie per i vostri consigli, mi avete sbloccato un mondo 
Ho un solo dubbio, non capisco quale procedimento ha svolto stormy per arrivare a quel risultato per quanto riguarda il numeratore.
Ho un solo dubbio, non capisco quale procedimento ha svolto stormy per arrivare a quel risultato per quanto riguarda il numeratore.
"Leonard89":
Anzitutto grazie per i vostri consigli, mi avete sbloccato un mondo
Ho un solo dubbio, non capisco quale procedimento ha svolto stormy per arrivare a quel risultato per quanto riguarda il numeratore.
Ha moltiplicato e diviso per $sqrt(x^2 + sqrt(x) +4) +2$
Grazie Shocker OK ora vedo di darci dentro con questo limite e appena finisco chiedo conferma se mi è riuscito. Mille grazie
OK ora vedo di darci dentro con questo limite e appena finisco chiedo conferma se mi è riuscito. Mille grazie
Allora, sto cercando di capire perché il limite al numeratore è un infinitesimo di ordine 1/2. Faccio un sacco di confusione con le radici. Qusluno potrebbe per favore illuminarmi?
dunque, dopo varie riletture provo a spiegare quanto detto da stormy. Il numeratore è un infinitesimo di ordine 1/2 per x -> 0 poichè presa la parte prinicipale dell'infinitesimo otteniamo che:
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{x^2+\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+\sqrt{x}+4}+2}=\lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}=\lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x}^2}{\sqrt[4]{x}^2}=\lim_{x\to 0^+} \, \frac{x}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^+} \, \sqrt{x} \)
quindi è un infinitesimo di ordine 1/2. Ho sbagliato qualcosa fin qui?
\(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} \, \frac{x^2+\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+\sqrt{x}+4}+2}=\lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x}}=\lim_{x\to 0^+} \, \frac{\sqrt{x}^2}{\sqrt[4]{x}^2}=\lim_{x\to 0^+} \, \frac{x}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0^+} \, \sqrt{x} \)
quindi è un infinitesimo di ordine 1/2. Ho sbagliato qualcosa fin qui?
Il denominatore ottenuto non è infinitesimo, vale 4
"@melia":
Il denominatore ottenuto non è infinitesimo, vale 4
stavo parlando del calcolo fatto da stormy. Mi sembra che valga per il solo numeratore. Stavo cercando di ricavare l'ordine dell'infinitesimo. Mi sa che mi sono perso...
"Leonard89":
[quote="@melia"]Il denominatore ottenuto non è infinitesimo, vale 4
stavo parlando del calcolo fatto da stormy. Mi sembra che valga per il solo numeratore. Stavo cercando di ricavare l'ordine dell'infinitesimo. Mi sa che mi sono perso...
[/quote]Forse stiamo facendo un po' di confusione...
Stormy ha detto che il numeratore: $sqrt(x^2 + sqrt(x) + 4) - 2 = (x^2+sqrt(x))/(sqrt(x^2 + sqrt(x) + 4) + 2)$ è un infinitesimo di ordine $1/2$. E per dimostrarlo basta vedere per quali $beta in RR^+$ il limite $lim_{x->0} ( (x^2+sqrt(x))/(sqrt(x^2 + sqrt(x) + 4) + 2))/x^beta = lambda != 0$.
ancora una volta sei stato chiarissimo stormy
scusate il ritardo nel post ma ho dovuto studiare tutto il giorno un'altra caterba di roba -.-' ora mi rimetto sul limite
scusate il ritardo nel post ma ho dovuto studiare tutto il giorno un'altra caterba di roba -.-' ora mi rimetto sul limite
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