Discutere la derivabilità di una funzione
salve a tutti ho un problema con questo esercizio, non riesco a risolverlo. La consegna dell' esercizio è:" discutere la derivabilità di h sul suo dominio". io sò che per essere derivabile una funzione deve essere continua su tutto il suo dominio e quando vado a fare il limite destro e il limite sinistro per i due punti che ho trovato mi esce continua in entrambi i punti ma la soluzione è :"derivabile in R \ {7}".
h(x) = $(x-6)log(1 + |x − 6|)$ + $root(3)(x-7)$
h(x) = $(x-6)log(1 + |x − 6|)$ + $root(3)(x-7)$
Risposte
la continuità è una condizione necessaria alla derivabilità, non sufficiente 
detto in altre parole: se una funzione è derivabile in un punto allora certamente è continua in quel punto. ma se una funzione è continua in un punto, non è detto che lì sia derivabile.
venendo ora al tuo esercizio: la funzione $h(x)$ che ti vien data è composizione di funzioni continue, quindi è continua. il dominio in cui è continua inoltre è tutto $R$. l'unico problema potrebbe infatti dartelo il logaritmo. devi perciò verificare per quali $x$ il suo argomento è maggiore di 0. si ottiene però:
$1+|x-6|>0 <=> |x-6| > -1$
questa relazione è vera per qualsiasi $x\in R$, infatti il modulo è sempre una quantità positiva (al più è $0$).
il termine con la radice non dà problemi perchè ha come esponente $3$, che è dispari. non devi quindi imporre che il suo argomento sia maggiore di $0$.
fin qui puoi quindi concludere che $h(x)$ è continua su tutto $R$. passiamo ora alla derivabilità.
la funzione $h'(x)$ é:
$h'(x) = log(1+|x-6|) + \frac{|x-6|}{1+|x-6|} + \frac{1}{3}(x-7)^{-\frac{2}{3}}$
questa funzione $h'(x)$ non ha però come dominio tutto $R$. puoi infatti osservare che l'ultimo termine esplode (cioè va a $\infty$ quando $x->7$). il punto $x=7$ non fa quindi parte del dominio della derivata di $h(x)$. concludi quindi che $h(x)$ non è derivabile in $x=7$, ovvero $h(x)$ è derivabile in $R \\ {7}$
questo ragionamento dovrebbe filare tutto, ma considerami un collega di corso che ti ha spiegato come va risolto un esercizio dal suo punto di vista
per quanto la matematica mi piaccia, io tendo spesso a fare cappellate
prendi quindi questa spiegazione con le pinze e ragionaci su tu stesso per verificare o meno che sia sensata
detto in altre parole: se una funzione è derivabile in un punto allora certamente è continua in quel punto. ma se una funzione è continua in un punto, non è detto che lì sia derivabile.
venendo ora al tuo esercizio: la funzione $h(x)$ che ti vien data è composizione di funzioni continue, quindi è continua. il dominio in cui è continua inoltre è tutto $R$. l'unico problema potrebbe infatti dartelo il logaritmo. devi perciò verificare per quali $x$ il suo argomento è maggiore di 0. si ottiene però:
$1+|x-6|>0 <=> |x-6| > -1$
questa relazione è vera per qualsiasi $x\in R$, infatti il modulo è sempre una quantità positiva (al più è $0$).
il termine con la radice non dà problemi perchè ha come esponente $3$, che è dispari. non devi quindi imporre che il suo argomento sia maggiore di $0$.
fin qui puoi quindi concludere che $h(x)$ è continua su tutto $R$. passiamo ora alla derivabilità.
la funzione $h'(x)$ é:
$h'(x) = log(1+|x-6|) + \frac{|x-6|}{1+|x-6|} + \frac{1}{3}(x-7)^{-\frac{2}{3}}$
questa funzione $h'(x)$ non ha però come dominio tutto $R$. puoi infatti osservare che l'ultimo termine esplode (cioè va a $\infty$ quando $x->7$). il punto $x=7$ non fa quindi parte del dominio della derivata di $h(x)$. concludi quindi che $h(x)$ non è derivabile in $x=7$, ovvero $h(x)$ è derivabile in $R \\ {7}$
questo ragionamento dovrebbe filare tutto, ma considerami un collega di corso che ti ha spiegato come va risolto un esercizio dal suo punto di vista
per quanto la matematica mi piaccia, io tendo spesso a fare cappellate
prendi quindi questa spiegazione con le pinze e ragionaci su tu stesso per verificare o meno che sia sensata
"Ziel van brand":
la continuità è una condizione necessaria alla derivabilità, non sufficiente
detto in altre parole: se una funzione è derivabile in un punto allora certamente è continua in quel punto. ma se una funzione è continua in un punto, non è detto che lì sia derivabile.
venendo ora al tuo esercizio: la funzione $h(x)$ che ti vien data è composizione di funzioni continue, quindi è continua. il dominio in cui è continua inoltre è tutto $R$. l'unico problema potrebbe infatti dartelo il logaritmo. devi perciò verificare per quali $x$ il suo argomento è maggiore di 0. si ottiene però:
$1+|x-6|>0 <=> |x-6| > -1$
questa relazione è vera per qualsiasi $x\in R$, infatti il modulo è sempre una quantità positiva (al più è $0$).
il termine con la radice non dà problemi perchè ha come esponente $3$, che è dispari. non devi quindi imporre che il suo argomento sia maggiore di $0$.
fin qui puoi quindi concludere che $h(x)$ è continua su tutto $R$. passiamo ora alla derivabilità.
la funzione $h'(x)$ é:
$h'(x) = log(1+|x-6|) + \frac{|x-6|}{1+|x-6|} + \frac{1}{3}(x-7)^{-\frac{2}{3}}$
questa funzione $h'(x)$ non ha però come dominio tutto $R$. puoi infatti osservare che l'ultimo termine esplode (cioè va a $\infty$ quando $x->7$). il punto $x=7$ non fa quindi parte del dominio della derivata di $h(x)$. concludi quindi che $h(x)$ non è derivabile in $x=7$, ovvero $h(x)$ è derivabile in $R \\ {7}$
questo ragionamento dovrebbe filare tutto, ma considerami un collega di corso che ti ha spiegato come va risolto un esercizio dal suo punto di vista
per quanto la matematica mi piaccia, io tendo spesso a fare cappellate
Grazie mille non poteva essere più completa la tua risposta... solo una cosa la derivata di $root(3)(x-7)$ non è 1/3(x-7)^-1/3 e non 1/3(x-7)^-2/3 ? (scusa se non uso il linguaggio ASCIIMathML ma sono nuovo e non sono ancora tanto pratico)
uhm...
$\frac{d}{dx}f^\alpha(x) = \alpha f^{\alpha-1}(x)f'(x)$
in questo caso $\alpha = \frac{1}{3}$, e quindi $\alpha -1 = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = - \frac{2}{3}$
$\frac{d}{dx}f^\alpha(x) = \alpha f^{\alpha-1}(x)f'(x)$
in questo caso $\alpha = \frac{1}{3}$, e quindi $\alpha -1 = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = - \frac{2}{3}$
"Ziel van brand":
uhm...
$\frac{d}{dx}f^\alpha(x) = \alpha f^{\alpha-1}(x)f'(x)$
in questo caso $\alpha = \frac{1}{3}$, e quindi $\alpha -1 = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = - \frac{2}{3}$
scusa è vero hai ragione
Salve a te Paolo, puoi cambiare (usa il tasto "modifica" in alto a destra) il titolo con qualcosa che faccia riferimento all'argomento dell'esercizio?
E' utile per l'opzione "cerca".
E' utile per l'opzione "cerca".
"gio73":
Salve a te Paolo, puoi cambiare (usa il tasto "modifica" in alto a destra) il titolo con qualcosa che faccia riferimento all'argomento dell'esercizio?
E' utile per l'opzione "cerca".
certo provvedo subito
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