Discutere la convergenza di una serie (con parametro) col confronto asintotico
Buonasera a tutti,
l'esercizio mi chiede di studiare la convergenza, al variare del parametro $ alpha > 0$, della serie:
$ sum_(n=1)^(oo) [1/n - sen (1/n)]^alpha $.
Per confronto asintotico il risultato che vedo è che $[1/n - sen (1/n)]^alpha ~~ 1/(6^alpha n^(3alpha))$ per $n->oo$, ma non ho capito come abbia fatto a venire $1/(6^alpha n^(3alpha))$... quando faccio il confronto asintotico mi viene sempre $[1/n - 1/n]^alpha$ cioè $[0]^alpha$ ma non credo abbia molto senso. Che cosa devo considerare?
l'esercizio mi chiede di studiare la convergenza, al variare del parametro $ alpha > 0$, della serie:
$ sum_(n=1)^(oo) [1/n - sen (1/n)]^alpha $.
Per confronto asintotico il risultato che vedo è che $[1/n - sen (1/n)]^alpha ~~ 1/(6^alpha n^(3alpha))$ per $n->oo$, ma non ho capito come abbia fatto a venire $1/(6^alpha n^(3alpha))$... quando faccio il confronto asintotico mi viene sempre $[1/n - 1/n]^alpha$ cioè $[0]^alpha$ ma non credo abbia molto senso. Che cosa devo considerare?
Risposte
Buongiorno, 
Non ti torna perché tronchi lo sviluppo del seno al primo ordine
Non ti torna perché tronchi lo sviluppo del seno al primo ordine
$sin(1/n)~ 1/n-1/(3!*n^3)+o[1/n^3]$
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