Discutere la convergenza di una serie

[Søren13]

Le serie mi stanno provocando non pochi problemi, ma questa in particolare mi lascia bloccata.
$\sum_{n=1}^{\infty} ( \sqrt{n^a + n^3 +1} - n^{3/2}) (x-1)^n$
$x$ varia su tutto R, $a$ sui reali positivi. Devo studiare per quali x c'è la convergenza assoluta per ogni a, e poi per quali x c'è la convergenza assoluta per qualche a.
L'idea di partenza è stata dimostrare per induzione che la serie è a termini positivi. Di conseguenza studiare la convergenza assoluta è come studiare la convergenza semplice e viceversa on questo caso. Volevo poi provare a verificare la condizione di convergenza, ma il limite mi incastra sempre in forme indeterminate... Non so come uscirne. Poi mi verrebbe l'idea di usare il criterio della radice. E anche lì non riesco a calcolare il limite. È il mio metodo che è senza via di uscita? O i limiti si riescono a calcolare in qualche modo?

[ostrogoto1]

Secondo me conviene analizzare
$ sum_(n=1)^(+oo)n^betay^n $ con $ y>0 $ et $ AAbeta\inRR $ in quanto converge per $ 0<=y<1 AAbetainRR $ per il criterio del rapporto e poi studiare a parte $ y=1 $. Essendo la parte tra parentesi quadre asintotica a $ n^beta $ per un $ beta $ opportuno tiro le conclusioni.

[ostrogoto1]

$ [(n^alpha+n^3+1)^(1/2)-n^(3/2)]=n^(3/2)[(1+1/n^3+1/n^(3-alpha))^(1/2)-1]= $ (1)

per $ 3-alpha $ maggiore, minore o uguale a 3 ho 3 casi, in realta' 2 perche' $ 3-alpha>3 $ e' escluso dalla condizione $ alpha>0 $.
Per $ 3-alpha=3 $ cioe' $ alpha=0 $ la (1) diventa:
$ n^(3/2)[(2+1/n^3)^(1/2)-1]=(2^(1/2)-1)n^(3/2)+o(n^(3/2)) $ per $ nrarr+oo $
Per $ alpha>0 $ ci sono 3 sottocasi
per $ 0 $ n^(3/2)[(1+1/n^(3-alpha)+o(...))^(1/2)-1]=n^(3/2)*1/(2n^(3-alpha))=1/2*n^((-3+2alpha)/2) $
mentre per $ alpha>3 $ la (1) diventa:
$ n^(3/2)*n^(alpha-3) $
per $ alpha=3 $ la (1) diventa:
$ n^(3/2)[(1+2/n^3)^(1/2)-1]=n^(3/2)*1/n^3=n^(-3/2) $

dove ho usato dove necessario $ sqrt(1+z)=1+z/2+o(z/2) $ per $ zrarr+oo $

Essendo $ lim_(nrarr+oo) n^beta*y^n=+oo $ per $ y>1 $ per $ AAbeta\inRR $ segue che per $ abs(x)>2 $ e $ AAalpha>0 $ non ci puo' essere convergenza assoluta perche' non vale la condizione necessaria di convergenza.
Per dimostrare la convergenza usa la serie che ho indicato nel precedente messsaggio e poi studia il caso y=1...