Discutere la convergenza degli integrali impropri
Ciao a tutti, sto cercando di svolgere degli esercizi sulla convergenza/divergenza degli integrali impropri. Ho studiato la teoria ma non so proprio come si risolvono gli esercizi.
Per esempio:
$\int_{1}^{+\infty} (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) dx$
Come comincio? Devo usare le stime asintotiche? Devo calcolare qualche limite? Devo vedere se la funzione è positiva?
$\int_{2}^{+\infty} (1)/(sqrt(1+x^2)) dx$
Mi verrebbe da dire che $(1)/(sqrt(1+x^2))=(1)/(1+x^2)^(1/2) ~ 1/x$ quindi diverge a $+\infty$ per il criterio del confronto.
$\int_{3}^{+\infty} sqrt((1+sqrt(x))/(x^8+x^6)) dx$
Anche qui fare un ragionamento simile a prima:
$f(x)=(1+sqrt(x))/(x^8+x^6)~x^(1/2)/x^8$ ma poi non so più continuare e comunque non ho considerato la radice esterna..
$\int_{4}^{+\infty} (x^(2a+1))/(x^2-1)^3 dx$
Questo poi proprio non lo so.. In base ad $a$ potrebbe essere il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore o viceversa..
Grazie
Per esempio:
$\int_{1}^{+\infty} (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) dx$
Come comincio? Devo usare le stime asintotiche? Devo calcolare qualche limite? Devo vedere se la funzione è positiva?
$\int_{2}^{+\infty} (1)/(sqrt(1+x^2)) dx$
Mi verrebbe da dire che $(1)/(sqrt(1+x^2))=(1)/(1+x^2)^(1/2) ~ 1/x$ quindi diverge a $+\infty$ per il criterio del confronto.
$\int_{3}^{+\infty} sqrt((1+sqrt(x))/(x^8+x^6)) dx$
Anche qui fare un ragionamento simile a prima:
$f(x)=(1+sqrt(x))/(x^8+x^6)~x^(1/2)/x^8$ ma poi non so più continuare e comunque non ho considerato la radice esterna..
$\int_{4}^{+\infty} (x^(2a+1))/(x^2-1)^3 dx$
Questo poi proprio non lo so.. In base ad $a$ potrebbe essere il grado del numeratore maggiore di quello del denominatore o viceversa..
Grazie
Risposte
Per il primo $\int_{1}^{+\infty} (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) dx$
la funzione è compresa tra due funzioni entrambe con integrale convergente
$-1/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= 3/(x^4+1)$ ho trovato i numeratori assegnando ad entrambi, coseno e seno, prima il loro valore minimo $-1$, poi il loro valore massimo $+1$.
Per il secondo hai preso una funzione maggiore della tua, quindi il secondo integrale, quello di $1/x$, è maggiore dell'integrale dato. Il ragionamento andrebbe bene se potessi dire che l'integrale converge, invece dobbiamo dimostrare che diverge, quindi dobbiamo prendere una funzione più piccola, come $1/(x+1)$
Tieni conto che sono un'insegnante di scuola secondaria, potrebbero esserci vie migliori di quelle che so usare io.
la funzione è compresa tra due funzioni entrambe con integrale convergente
$-1/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= 3/(x^4+1)$ ho trovato i numeratori assegnando ad entrambi, coseno e seno, prima il loro valore minimo $-1$, poi il loro valore massimo $+1$.
Per il secondo hai preso una funzione maggiore della tua, quindi il secondo integrale, quello di $1/x$, è maggiore dell'integrale dato. Il ragionamento andrebbe bene se potessi dire che l'integrale converge, invece dobbiamo dimostrare che diverge, quindi dobbiamo prendere una funzione più piccola, come $1/(x+1)$
Tieni conto che sono un'insegnante di scuola secondaria, potrebbero esserci vie migliori di quelle che so usare io.
Per il terzo, siccome supponiamo che sia convergente, dobbiamo trovare una funzione che sia maggiore di quella che abbiamo e della quale sappiamo dire che l'integrale converge
$f(x)= sqrt((1+sqrt(x))/(x^8+x^6)) =sqrt((sqrtx(1+1/sqrtx))/(x^8+x^6))=sqrt((1+1/sqrtx)/(x^7 sqrtx+x^5 sqrtx))=1/x^(5/2)*sqrt((1+1/sqrtx)/(x^2 sqrtx+ sqrtx))<1/x^(5/2)$
L'ultimo dovrebbe divergere per $a>=2$ e convergere per $a<2$, ma non so spiegare bene i passi da fare. Aspettiamo qualcuno di più esperto.
$f(x)= sqrt((1+sqrt(x))/(x^8+x^6)) =sqrt((sqrtx(1+1/sqrtx))/(x^8+x^6))=sqrt((1+1/sqrtx)/(x^7 sqrtx+x^5 sqrtx))=1/x^(5/2)*sqrt((1+1/sqrtx)/(x^2 sqrtx+ sqrtx))<1/x^(5/2)$
L'ultimo dovrebbe divergere per $a>=2$ e convergere per $a<2$, ma non so spiegare bene i passi da fare. Aspettiamo qualcuno di più esperto.
Grazie mille per l'aiuto. Non ho capito alcune cose..
Sostituendo prima $-1$ e poi $+1$ nella funzione ottengo:
$(cos(-1)+sin(-1*2)+1)/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= (cos(1)+sin(1*2)+1)/(x^4+1)$
$0.63/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= 2.44/(x^4+1)$
Come hai fatto ad ottenere rispettivamente $-1$ e $3$?
Come faccio a sapere a priori se converge o diverge?
Comunque ti ringrazio
"@melia":
Per il primo $\int_{1}^{+\infty} (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) dx$
la funzione è compresa tra due funzioni entrambe con integrale convergente
$-1/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= 3/(x^4+1)$ ho trovato i numeratori assegnando ad entrambi, coseno e seno, prima il loro valore minimo $-1$, poi il loro valore massimo $+1$.
Sostituendo prima $-1$ e poi $+1$ nella funzione ottengo:
$(cos(-1)+sin(-1*2)+1)/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= (cos(1)+sin(1*2)+1)/(x^4+1)$
$0.63/(x^4+1)<= (cos(x)+sin(2x)+1)/(x^4+1) <= 2.44/(x^4+1)$
Come hai fatto ad ottenere rispettivamente $-1$ e $3$?
"@melia":
Per il secondo hai preso una funzione maggiore della tua, quindi il secondo integrale, quello di $1/x$, è maggiore dell'integrale dato. Il ragionamento andrebbe bene se potessi dire che l'integrale converge, invece dobbiamo dimostrare che diverge, quindi dobbiamo prendere una funzione più piccola, come $1/(x+1)$
Come faccio a sapere a priori se converge o diverge?
Comunque ti ringrazio
Non ho sostituito $-1$ o $+1$ al posto di x, ma al posto di $ cosx$ e di $sin2x$ perché sono il valore minimo e il valore massimo che tali funzioni possono assumere.
Puoi prendere un maggiorante convergente se la funzione converge o un minorante divergente se diverge, parlo ovviamente di funzioni positive.
Sapere che $0 +oo$ non mi dice niente sulla funzione, ma sapere che $0 +oo$ mi dice che anche la funzione diverge a $+oo$, allo stesso modo sapere che $0 < k
Puoi prendere un maggiorante convergente se la funzione converge o un minorante divergente se diverge, parlo ovviamente di funzioni positive.
Sapere che $0
Aaah ok ora ho capito, grazie 
"@melia":
Per il terzo, siccome supponiamo che sia convergente, dobbiamo trovare una funzione che sia maggiore di quella che abbiamo e della quale sappiamo dire che l'integrale converge
$f(x)= sqrt((1+sqrt(x))/(x^8+x^6)) =sqrt((sqrtx(1+1/sqrtx))/(x^8+x^6))=sqrt((1+1/sqrtx)/(x^7 sqrtx+x^5 sqrtx))=1/x^(5/2)*sqrt((1+1/sqrtx)/(x^2 sqrtx+ sqrtx))<1/x^(5/2)$
Come si passa da $sqrt((sqrtx(1+1/sqrtx))/(x^8+x^6))$ a $sqrt((1+1/sqrtx)/(x^7 sqrtx+x^5 sqrtx))$?
Raccogli $sqrt(x)$ al denominatore e semplifichi ...
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