Discutere esistenza , unicità e prolungamento

[Ale88ssia]

Ciao a tutti! avrei bisogno di una mano per quanto riguarda un esercizio di equazioni differenziali di questo tipo :

Data l'equazione differenziale \(\displaystyle y' = \frac{1+y^2}{1+y}*x \)
1) discutere esistenza e unicità locale
2) trovare l'integrale generale
3) risolvere il problema di Cauchy con dato y(0)=0 e dire se tale soluzione é prolungabile su R

io ho tentato di risolverlo in questo modo :

1) per discutere l'esistenza e l'unicità dobbiamo vedere se la funzione \(\displaystyle f(x,y) = \frac{1+y^2}{1+y}*x \) è continua e poi se è o lipschitziana oppure se la sua derivata parziale rispetto alla y è continua...io vedo che abbiamo un punto di discontinuità per y = -1 , idem per la derivata parziale...quindi nel complesso io direi che le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale siano verificate, però sinceramente non credo sia sufficiente ciò che ho detto :\

2) questa è un equazione a variabili separabili quindi mi sono ricavata questo integrale generale :
\(\displaystyle arctg(y) + \frac{1}{2}log(1+y^2) = \frac{x^2}{2} +c \)
ma non riesco ad esplicitarlo

3) l'ultimo punto è un boh totale

[porzio1]

2) infatti,non si può esplicitare
si può fare,però, uno studio qualitativo della soluzione valutando la condizione iniziale
è quello che ti viene chiesto nel punto 3

3) $y'=f(x,y)$
$y(0)=0$
la soluzione è $2arctgy +ln(1+y^2)=x^2$

dall'espressione di $f(x,y)$ si evince che $y' >0$ per $x>0$ e $y'<0$ per $x<0$
quindi,la soluzione massimale ha un punto di minimo assoluto in $x=0$
è lecito quindi considerare la restrizione di $f(x,y)$ all'insieme $mathbbR times[0,+infty) $
in questo insieme è facile verificare che vale la disuguaglianza
$|f(x,y)| leq (y+1)|x|=|x|y+|x|$ (sublinearità)
la soluzione è prolungabile su tutto $mathbbR$

[Ale88ssia]

ti ringrazio infinitamente per avermi risposto...e per aver completato i buchi che avevo lasciato io! grazie!