Discutere convergenza, risolto correttamente?
Allora io ho pensato così:
Se $x=1$ non converge assolutamente e neanche semplicemente, quindi.
Se $x=-1$ per Leibniz converge semplicemente!
Facendo il modulo potrei dire che converge assolutamente se col modulo converge semplicemente (con leibniz) ma siccome è difficile sfrutto la circostanza che la serie è a termini positivi per cui, usando il criterio del rapporto, trovo che
Se |x| > 1 converge assolutamente e semplicemente! Altrimenti diverge!
Invece nel punto b) cosa vuole? come si fa?
Grazie mille
Risposte
attenzione: il fatto che una serie non converga assolutamente non ti autorizza a dire che allora non converge semplicemente
dove ho sbagliato? e il punto b) ?
poi cmq non si affronta cosi lo studio di una serie, dando a $x$ valori a "muzzo" 
la prima cosa da osservare è sempre la condizione necessaria di convergenza: in questo caso si verifica facilmente che quella serie può convergere se $|x|<1;$ poi verifichi se il termine generale è a segno costante, e in questo caso non lo è quindi simamo costretti a studiarne la convergenza assoluta:
\begin{align*}
\left|\frac{x^n}{x^2+n}\right|= \frac{|x|^n}{x^2+n}
\end{align*}
a questo punto abbiamo una serie a termini positivi, cui possiamo applicare qualche criterio di convergenza ad esempio quello della radice :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|x|^n}{x^2+n} \stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{ \frac{|x|^n}{x^2+n}}=\lim_{n \to +\infty} \frac{ |x|}{\sqrt[n]{x^2+n}}\sim\lim_{n \to +\infty} \frac{ |x|}{\sqrt[n]{ n}} = |x|
\end{align*}
allora puoi concludere che :
[-] se $|x|<1$ la serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente;
[-] se $|x|>1$ la serie diverge
[-] se $|x|=1$ il criterio della radice risulta inefficacie; allora cerchiamo un altra via;
se $x=1$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1+n}\to \mbox {diverge}
\end{align*}
se $x=-1$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+n}\to \mbox {converge per Leibnitz}
\end{align*}
Ora per la seconda domanda, un'ulteriore conseguenza del criterio di Leibniz, è il fatto di poter stimare l'errore che si commette approssimando la somma $S$ della serie con la somma parziale $n^{\text{ma}} \,\,\, S_n,$ che è dato da
\begin{align*}\left|\displaystyle\sum_{n= 0}^{\infty}(-1)^n a_n-\displaystyle\sum_{n= 0}^{n}(-1)^n a_n\right|\le a_{n+1},\,\,\,\text{oppure, che è lo stesso}\,\,\,\,\left|R_{n,k}\right|\le a_{n+1}\end{align*}
dunque nel tuo caso avrai che
\begin{align*}
\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{1+k}\right|\le \frac{1}{2+n}\le\frac{1}{10}\qquad\Leftrightarrow\qquad n\ge 8
\end{align*}
la prima cosa da osservare è sempre la condizione necessaria di convergenza: in questo caso si verifica facilmente che quella serie può convergere se $|x|<1;$ poi verifichi se il termine generale è a segno costante, e in questo caso non lo è quindi simamo costretti a studiarne la convergenza assoluta:\begin{align*}
\left|\frac{x^n}{x^2+n}\right|= \frac{|x|^n}{x^2+n}
\end{align*}
a questo punto abbiamo una serie a termini positivi, cui possiamo applicare qualche criterio di convergenza ad esempio quello della radice :
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|x|^n}{x^2+n} \stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{ \frac{|x|^n}{x^2+n}}=\lim_{n \to +\infty} \frac{ |x|}{\sqrt[n]{x^2+n}}\sim\lim_{n \to +\infty} \frac{ |x|}{\sqrt[n]{ n}} = |x|
\end{align*}
allora puoi concludere che :
[-] se $|x|<1$ la serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente;
[-] se $|x|>1$ la serie diverge
[-] se $|x|=1$ il criterio della radice risulta inefficacie; allora cerchiamo un altra via;
se $x=1$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1+n}\to \mbox {diverge}
\end{align*}
se $x=-1$ la serie diventa:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+n}\to \mbox {converge per Leibnitz}
\end{align*}
Ora per la seconda domanda, un'ulteriore conseguenza del criterio di Leibniz, è il fatto di poter stimare l'errore che si commette approssimando la somma $S$ della serie con la somma parziale $n^{\text{ma}} \,\,\, S_n,$ che è dato da
\begin{align*}\left|\displaystyle\sum_{n= 0}^{\infty}(-1)^n a_n-\displaystyle\sum_{n= 0}^{n}(-1)^n a_n\right|\le a_{n+1},\,\,\,\text{oppure, che è lo stesso}\,\,\,\,\left|R_{n,k}\right|\le a_{n+1}\end{align*}
dunque nel tuo caso avrai che
\begin{align*}
\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{1+k}\right|\le \frac{1}{2+n}\le\frac{1}{10}\qquad\Leftrightarrow\qquad n\ge 8
\end{align*}
nell'ultima cosa che hai scritto a primo membro non capisco come arrivi a scrivere ciò...
quello è il resto della serie che in valore assoluto è maggiorato dal termine $a_{n+1};$
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty a_n =\sum_{n=1}^n a_n+\sum_{k=n+1}^{\infty} a_n
\end{align}
\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty a_n =\sum_{n=1}^n a_n+\sum_{k=n+1}^{\infty} a_n
\end{align}
non ho capito bene cosa significa stimare l'errore e come si approssima...
"smaug":
non ho capito bene cosa significa stimare l'errore e come si approssima...
significa che se tu vuoi troncare la somma della serie ad un certo indice $n$ l'errore che commetti troncando la serie a quell'indice è pari a $\sum_{k=n+1}^{\infty} a_n; $ se poi vuoi commettere un errore che non superi , ad esempio $1/{10},$ basta che maggiori il resto (errore) della serie (in modulo) e ricavi l'indice $n$ a cui ti puoi arrestare per sostituire la somma della serie con la somma parziale, non commettendo un errore superiore ad $1/{10}$
se ho $\sum_(n=1)^(5) (-1)^n / n$
questa converge per leibniz semplicemente...l'errore che commetto è $1/6$?
questa converge per leibniz semplicemente...l'errore che commetto è $1/6$?
no, se tu vuoi commettere un errore inferiore che so a $1/100$ approssimando la somma di
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\]
devi stimare il resto di quella serie che è
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n} \]
ovvero
\[\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\right|< \frac{1}{n+1}\]
allora se vuoi che l'errore sia inferiore a $1/100$ basta porre
\[ \frac{1}{n+1}\le\frac{1}{100}\quad\Leftrightarrow\quad n+1\ge100\quad\Leftrightarrow\quad n\ge99\]
quindi per commettere un errore di $1/100$ devi troncare la serie almeno ad $n=99$
cioè
\[\sum_{n=1}^{99}\frac{(-1)^n}{n}\]
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\]
devi stimare il resto di quella serie che è
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\sum_{n=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n} \]
ovvero
\[\left|\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\right|< \frac{1}{n+1}\]
allora se vuoi che l'errore sia inferiore a $1/100$ basta porre
\[ \frac{1}{n+1}\le\frac{1}{100}\quad\Leftrightarrow\quad n+1\ge100\quad\Leftrightarrow\quad n\ge99\]
quindi per commettere un errore di $1/100$ devi troncare la serie almeno ad $n=99$
cioè
\[\sum_{n=1}^{99}\frac{(-1)^n}{n}\]
grazie mille, se avessi qualche altro problema, posso postare nuove domande qui? Thanks
quindi quando ho una successione numerica a segno alterno, devo sempre studiare il modulo, così da poter applicare criteri come quello del rapporto, della radice? Questi limiti mi porteranno sempre a studiare vari casi, e lì andare a vedere cosa succede. Così?
si in generale va bene come procedimento, ad esempio se hai la serie
\[\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\]
essendo a segni alterni, istintivamente verrebbe da applicare Leibniz; quindi verificare, che il termine generale è infinitesimo, e lo è, e che sia decrescente, ovvero che $a_n>a_{n+1},$ ovvero che
\begin{align}1-\cos\frac{1}{n} &>1-\cos\frac{1}{n+1}\\
\cos\frac{1}{n}&<\cos\frac{1}{n+1} \end{align}
che magari è un pò complicata da verificare. Se invece consideri la convergenza assoluta, hai che devi studiare la serie a termini positivi:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left|(-1)^n \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\right|=\sum_{n=1}^{+\infty} 1-\cos\frac{1}{n} \sim \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^2}\to\mbox{converge Assolutamente}\]
e quindi hai concluso. Il problema della convergenza assoluta sta nel fatto che se ti risulta assolutamente divergente, non puoi concludere nulla; ad esempio
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}\]
La serie data non è a termini positivi, e il termine generale tende a zero come si verifica facilmente; osserviamo che:
\[(-n)^n=(-1)^n\cdot n^n\]
e dunque la serie data è equivalente alla serie:
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}&=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)^{-1}}{n^n}\\
&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
a questo punto consideriamo il valore assoluto del termne generale::
\begin{align*}
\left| (-1)^n\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}\right|=\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}&> \frac{1}{n+1},\,\,\,\to \text{diverge}
\end{align*}
la serie data dunque diverge assolutamente, e non possiamo concludere nulla circa l'eventuale convergenza o divergenza; per vedere se c'è convergenza semplice, verifichiamo se sussistono le ipotesi per applicare il criterio di Leibnitz: considerando la successione infinitesima, \[a_n=\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}\] si verifica che è decrescente, infatti:
\begin{align*}
a_n\ge a_{n+1}\Rightarrow\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}&\ge\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{n+2}\\
&=\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n}\cdot \frac{n+2 }{n+1} \cdot\frac{1}{n+2}=\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
e dunque
\begin{align*}
\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}\ge\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}&\Rightarrow\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n \ge\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n} \\
&\Rightarrow \frac{n+1 }{n} \ge \frac{n+2 }{n+1} \Rightarrow \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{n(n+1)}\Rightarrow1\ge0, \,\,\,
\end{align*}
allora sono verificate le ipotesi del criterio di Leibnitz, e dunque la serie data converge semplicemente, ma non assolutamente.
\[\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\]
essendo a segni alterni, istintivamente verrebbe da applicare Leibniz; quindi verificare, che il termine generale è infinitesimo, e lo è, e che sia decrescente, ovvero che $a_n>a_{n+1},$ ovvero che
\begin{align}1-\cos\frac{1}{n} &>1-\cos\frac{1}{n+1}\\
\cos\frac{1}{n}&<\cos\frac{1}{n+1} \end{align}
che magari è un pò complicata da verificare. Se invece consideri la convergenza assoluta, hai che devi studiare la serie a termini positivi:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\left|(-1)^n \left(1-\cos\frac{1}{n}\right)\right|=\sum_{n=1}^{+\infty} 1-\cos\frac{1}{n} \sim \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n^2}\to\mbox{converge Assolutamente}\]
e quindi hai concluso. Il problema della convergenza assoluta sta nel fatto che se ti risulta assolutamente divergente, non puoi concludere nulla; ad esempio
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}\]
La serie data non è a termini positivi, e il termine generale tende a zero come si verifica facilmente; osserviamo che:
\[(-n)^n=(-1)^n\cdot n^n\]
e dunque la serie data è equivalente alla serie:
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^n}&=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)^{-1}}{n^n}\\
&= \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
a questo punto consideriamo il valore assoluto del termne generale::
\begin{align*}
\left| (-1)^n\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}\right|=\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}&> \frac{1}{n+1},\,\,\,\to \text{diverge}
\end{align*}
la serie data dunque diverge assolutamente, e non possiamo concludere nulla circa l'eventuale convergenza o divergenza; per vedere se c'è convergenza semplice, verifichiamo se sussistono le ipotesi per applicare il criterio di Leibnitz: considerando la successione infinitesima, \[a_n=\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}\] si verifica che è decrescente, infatti:
\begin{align*}
a_n\ge a_{n+1}\Rightarrow\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}&\ge\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n+1}\cdot\frac{1}{n+2}\\
&=\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n}\cdot \frac{n+2 }{n+1} \cdot\frac{1}{n+2}=\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}
\end{align*}
e dunque
\begin{align*}
\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}\ge\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n}\cdot\frac{1}{n+1}&\Rightarrow\left(\frac{n+1 }{n}\right)^n \ge\left(\frac{n+2 }{n+1}\right)^{n} \\
&\Rightarrow \frac{n+1 }{n} \ge \frac{n+2 }{n+1} \Rightarrow \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{n(n+1)}\Rightarrow1\ge0, \,\,\,
\end{align*}
allora sono verificate le ipotesi del criterio di Leibnitz, e dunque la serie data converge semplicemente, ma non assolutamente.
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