Discutere al variare di y il carattere dell'integrale improprio...
Ciao a tutti,
sono sempre qui ma gli integrali proprio non li digerisco
tra le varie tipologie di esercizi c'è ne una che mi lascia sempre perplesso:
Discutere al variare di y (appartenente ai numeri reali) il carattere dell'integrale improprio:
$\int_{0}^{1} f(x) / x^y dx$
non so proprio da dove partire! ho 4 libri di analisi, ci fosse uno che spiega come si risolvono sti esercizi non so minimamente da dove partire se non verificare che $f(x)$ sia continua in tutto l'intervallo (tra 1 e 0 in questo caso)
ad esempio:
$\int_{0}^{1} ((1+3x^4)^(1/6) - 1) / x^y dx$
come si risolve??
sono sempre qui ma gli integrali proprio non li digerisco
tra le varie tipologie di esercizi c'è ne una che mi lascia sempre perplesso:
Discutere al variare di y (appartenente ai numeri reali) il carattere dell'integrale improprio:
$\int_{0}^{1} f(x) / x^y dx$
non so proprio da dove partire! ho 4 libri di analisi, ci fosse uno che spiega come si risolvono sti esercizi
non so minimamente da dove partire se non verificare che $f(x)$ sia continua in tutto l'intervallo (tra 1 e 0 in questo caso)ad esempio:
$\int_{0}^{1} ((1+3x^4)^(1/6) - 1) / x^y dx$
come si risolve??
Risposte
In questi casi è quasi inevitabile ricorrere agli asintotici e sfruttare gli esempi di integrali "notevoli" (come per la convergenza delle serie)...
Per quanto riguarda l'esempio puoi procedere nel seguente modo:
$ (1+3x^4)^(1/6)-1~ 1/6 3x^4=x^4/2 $ ($ x_0=0 $ è l'unico punto che crea problemi in questo caso, quindi studio la funzione in un intorno di $ x_0=0 $ )
Studio la convergenza di $ int_0^1x^4/2 1/x^y dx=int_0^1 1/(2x^(y-4)) dx $ facendo riferimento al giusto integrale notevole...
Per quanto riguarda l'esempio puoi procedere nel seguente modo:
$ (1+3x^4)^(1/6)-1~ 1/6 3x^4=x^4/2 $ ($ x_0=0 $ è l'unico punto che crea problemi in questo caso, quindi studio la funzione in un intorno di $ x_0=0 $ )
Studio la convergenza di $ int_0^1x^4/2 1/x^y dx=int_0^1 1/(2x^(y-4)) dx $ facendo riferimento al giusto integrale notevole...
innanzitutto un grazie per l'intervento! mi hai risolto parecchi dubbi te lo assicuro.. 
concludendo ho ragionato su:
$\int_{x_0}^{b} 1/(x-x_0)^alpha $ converge solo se $alpha>0$ per cui $y-4>0$ da cui l'integrale improprio di partenza converge solo se $y>4$ corretto?
concludendo ho ragionato su:
$\int_{x_0}^{b} 1/(x-x_0)^alpha $ converge solo se $alpha>0$ per cui $y-4>0$ da cui l'integrale improprio di partenza converge solo se $y>4$ corretto?
Quell'integrale converge se $ alpha<1 $ quindi la soluzione è $ y-4<1 $ cioè $ y<5 $
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