Discussione su definizione alternativa di punto di accumulazione
Salve a tutti. Ora che sto studiando i limiti di funzioni reali ho dovuto anche studiare i punti di accumulazione. Il libro poneva questa dimostrazione (di punto di accumulazione) dopo aver trattato un po' di topologia della retta reale e gli intorni. Quindi mi aspettavo che il professore introducesse quanto meno gli intorni, invece ha scritto una definizione di punto di accumulazione che fra l'altro non ho ben capito.
DEF: (Punto di accumulazione)
Dati $ c in mathbb(R) cup {pm infty}$, $X sube mathbb(R) $, allora $c$ si dice punto di accumulazione per $X$ se esiste una successione $ {x_n}_(n in mathbb(N)) $ tale che:
1) $x_n in X$, $forall n$
2) $x_n ne c$, $forall n$
3) $lim_(n to infty)x_n=c$
Io ho letto solo di sfuggita la definizione con gli intorni per mancanza di tempo, ma con questa non riesco a capire il significato. Come la dovrei interpretare?
Grazie.
DEF: (Punto di accumulazione)
Dati $ c in mathbb(R) cup {pm infty}$, $X sube mathbb(R) $, allora $c$ si dice punto di accumulazione per $X$ se esiste una successione $ {x_n}_(n in mathbb(N)) $ tale che:
1) $x_n in X$, $forall n$
2) $x_n ne c$, $forall n$
3) $lim_(n to infty)x_n=c$
Io ho letto solo di sfuggita la definizione con gli intorni per mancanza di tempo, ma con questa non riesco a capire il significato. Come la dovrei interpretare?
Grazie.
Risposte
Praticamente ti puoi avvicinare a c quanto vuoi e troverai sempre elementi di X distinti da c.
Detto un po' meglio: fissato $\epsilon >0$ esiste $N\in \mathbb{N}$ tale che $x_n \in (c-\epsilon, c+\epsilon)\cap X -\{c\}$ se $n \ge N$ (nel caso finito; se c è infinito l'idea è simile).
Detto un po' meglio: fissato $\epsilon >0$ esiste $N\in \mathbb{N}$ tale che $x_n \in (c-\epsilon, c+\epsilon)\cap X -\{c\}$ se $n \ge N$ (nel caso finito; se c è infinito l'idea è simile).
Si, penso di aver capito. Grazie.
Dato un sottoinsieme $X$ dello spazio T2 $mathbb{R}$ e un elemento $c \in \mathbb{R}$, $c$ si dice punto di accumulazione di $X$ se l'intersezione di ogni suo intorno, rispetto ad una base fissata, con \(X \setminus \{c\}\) è nonvuota. Ora, una base di intorni di un punto $x\in\mathbb{R}$ è lui: \(\{(x-\epsilon,x+\epsilon):\epsilon\in\mathbb{R}\}\). Questo significa che in ogni intorno (di una base del) del punto $c$ (e quindi, in ogni intervallo aperto di centro $x$) riuscirai a trovare quanti punti vuoi ("infiniti") di $X$ (prova a dimostrarlo se hai voglia).
Dimostrerò (in modo un po' troppo confuso, scusami, l'ho scritto di fretta, se domani ho tempo edito cercando di fare qualcosa di più comprensibile) che dalla def. data su si arriva alla tua; prova ad immaginare la \(\impliedby\).
Supponiamo ora che esista la successione \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\). 1) ci dice che stiamo lavorando dentro $X$: \(\{x_n\}\subset X\). Partiamo da 3):
\[\lim_{n\to\infty}x_n = c \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 : \exists \nu: \forall \nu : n > \nu \implies |x_n - c| < \epsilon\]
Convinciti che la definizione di limite dice la stessa cosa che "preso un qualsiasi intorno della base di cui sopra (di raggio $\epsilon > 0$, di centro $c$), dopo un certo indice $\nu$, se \(N > \nu\) il \(x_N\) vi apparterrà".
Allora, 3)se prendiamo un qualsiasi intorno di $c$ (di raggio $\epsilon>0$), allora esistono "infiniti" punti 1)di $X$ (\(\{x_n\}\subset X\), no?), tali che siano anche appartenenti ad un intorno di $c$ (stiamo avendo a che fare con una successione); da 2) segue la tesi, cioè che $c$ sia di accumulazione secondo la definizione che ho dato all'inizio.
Come vedi, le due definizioni sono equivalenti: pensare di costruire una bolla attorno a $c$[nota]Sì, tutto ciò vale in qualche modo in $\mathbb{R}^n$.[/nota] e notare che ivi ci trovi infiniti punti di $X$ diversi da $c$ stesso, e andare a convergere con infiniti punti di $X$ su $c$, rispettando 2), sono la stessa cosa; spero di averti chiarificato la nozione di "convergenza" (e di non avere scritto cavolate
)
Dimostrerò (in modo un po' troppo confuso, scusami, l'ho scritto di fretta, se domani ho tempo edito cercando di fare qualcosa di più comprensibile) che dalla def. data su si arriva alla tua; prova ad immaginare la \(\impliedby\).
Supponiamo ora che esista la successione \(\{x_n\}_{n\in\mathbb{N}}\). 1) ci dice che stiamo lavorando dentro $X$: \(\{x_n\}\subset X\). Partiamo da 3):
\[\lim_{n\to\infty}x_n = c \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 : \exists \nu: \forall \nu : n > \nu \implies |x_n - c| < \epsilon\]
Convinciti che la definizione di limite dice la stessa cosa che "preso un qualsiasi intorno della base di cui sopra (di raggio $\epsilon > 0$, di centro $c$), dopo un certo indice $\nu$, se \(N > \nu\) il \(x_N\) vi apparterrà".
Allora, 3)se prendiamo un qualsiasi intorno di $c$ (di raggio $\epsilon>0$), allora esistono "infiniti" punti 1)di $X$ (\(\{x_n\}\subset X\), no?), tali che siano anche appartenenti ad un intorno di $c$ (stiamo avendo a che fare con una successione); da 2) segue la tesi, cioè che $c$ sia di accumulazione secondo la definizione che ho dato all'inizio.
Come vedi, le due definizioni sono equivalenti: pensare di costruire una bolla attorno a $c$[nota]Sì, tutto ciò vale in qualche modo in $\mathbb{R}^n$.[/nota] e notare che ivi ci trovi infiniti punti di $X$ diversi da $c$ stesso, e andare a convergere con infiniti punti di $X$ su $c$, rispettando 2), sono la stessa cosa; spero di averti chiarificato la nozione di "convergenza" (e di non avere scritto cavolate
)
Si, ho capito (almeno l'idea) della relazione tra le due definizioni. Grazie
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