Discussione serie, con parametro.
Buongiorno,
lo so, ho già caricato un esercizio simile qualche giorno fà, ma purtroppo non ho la soluzione degli stessi, quindi non lo so se i ragionamenti che faccio mi porta sulla giusta strada.
Ho trovato l'esercizio in rete, dove chiede di determinare al variare del parametro $a in mathbb{R}$ òa convergenza della serie
La prima cosa che verifico, controllo se il termine generale della serie $a_n$ sia positivo, cioè se $a_n>0, forall n ge 1$.
osservo però che il termine generale risulta essere positivo in quanto, per ogni $n ge 1$
$n^a>0$
la funzione $0
quindi se sono corrette le precedenti osservazioni, si ha la positività del termine generale $a_n$ per $n ge 1$.
Ditemi se è corretto il ragionamento che sto utilizzando, cosi non faccio sforzi nulli.
Grazie in anticipo per le risposte.
Cordiali saluti.
lo so, ho già caricato un esercizio simile qualche giorno fà, ma purtroppo non ho la soluzione degli stessi, quindi non lo so se i ragionamenti che faccio mi porta sulla giusta strada.
Ho trovato l'esercizio in rete, dove chiede di determinare al variare del parametro $a in mathbb{R}$ òa convergenza della serie
$sum_(n=1)^(+infty)n^a[1-cos(1/(2n^2))-log(1+(1/(8n^4)))]$
La prima cosa che verifico, controllo se il termine generale della serie $a_n$ sia positivo, cioè se $a_n>0, forall n ge 1$.
osservo però che il termine generale risulta essere positivo in quanto, per ogni $n ge 1$
$n^a>0$
la funzione $0
quindi se sono corrette le precedenti osservazioni, si ha la positività del termine generale $a_n$ per $n ge 1$.
Ditemi se è corretto il ragionamento che sto utilizzando, cosi non faccio sforzi nulli.
Grazie in anticipo per le risposte.
Cordiali saluti.
Risposte
Ciao, per studiare la convegenza di questa serie ti conviene prendere i termini $cos(1/(2n^2))$ e $ ln(1+(1/(8n^4)))$ sviluppandoli con Taylor.
si ha che
$cos(1/(2n^2)) = 1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4 + o(1/(n^8))$
$ln(1+(1/(8n^4)))= 1/(8n^4) - (1)/(2) (1/(8n^4))^2 +o(1/n^8)$
quindi la serie, a termini positivi, si comporta come:
$sum_(n=1)^(+oo)[n^(alpha)(1-1+(1)/(8n^4)-(1)/(384n^8)-(1)/(8n^4)+(1)/(128n^8))]$
cioè
$sum_(n=1)^(+oo)[n^(alpha)(1/(128n^8) - 1/(384n^8))] = 1/(192)sum_(n=1)^(+oo)(n^(alpha-8))$
Sapendo che una serie del tipo $sum_(n=1)^(+oo)(n^x)$ converge se $x<-1$ , la serie converge se
$alpha - 8 <-1 => alpha<7$
si ha che
$cos(1/(2n^2)) = 1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4 + o(1/(n^8))$
$ln(1+(1/(8n^4)))= 1/(8n^4) - (1)/(2) (1/(8n^4))^2 +o(1/n^8)$
quindi la serie, a termini positivi, si comporta come:
$sum_(n=1)^(+oo)[n^(alpha)(1-1+(1)/(8n^4)-(1)/(384n^8)-(1)/(8n^4)+(1)/(128n^8))]$
cioè
$sum_(n=1)^(+oo)[n^(alpha)(1/(128n^8) - 1/(384n^8))] = 1/(192)sum_(n=1)^(+oo)(n^(alpha-8))$
Sapendo che una serie del tipo $sum_(n=1)^(+oo)(n^x)$ converge se $x<-1$ , la serie converge se
$alpha - 8 <-1 => alpha<7$
Ciao ondine, grazie per la risposta, mi potresti dire se il ragionamento che ho fatto per la determinazione di $a_n$ è corretto
Ciao
Ciao
Se la serie è a termini positivi deve essere che $a_n >0$ per ogni naturale, questo vuol dire che
$1-cos(1/(2n^2))-ln(1+1/(8n^4))>0$
$cos(1/(2n^2))+ln(1+1/(8n^4))<1$
Le tue disuguaglianze non bastano, perchè hai dimostrato solo che la somma del coseno e del logarimo è minore di $1+1/20$ che è maggiore di 1.. si deve procedere in un altro modo. Un modo per dimostrarlo è questo.
Tu sai che:
$cos(1/(2n^2)) = 1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4 -a_4+a_5-a_6..$
ora, è facile notare che, chiamato $a_n$ il termine n esimo di questa somma, vale la relazione $a_n>a_(n+1)$ per ogni n naturale(notare che ho già espresso il segno, quindi gli $a_n$ sono tutti positivi). Quindi scrivendo la serie come
$cos(1/(2n^2)) = 1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4 -(a_4-a_5)-(a_6-a_7)-...$
si può notare che i termini tra parentesi sono tutti positivi. Perciò sussiste la disuguaglianza
$cos(1/(2n^2)) <1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4$
considero ora $ln(1+(1/(8n^4)))= 1/(8n^4) - (1)/(2) (1/(8n^4))^2 +1/(1536n^12)-a_4+a_5...$
con i discorsi analoghi a queli fatti in precedenza, la disuguaglianza che posso scrivere, valida per ogni n naturale è
$ln(1+(1/(8n^4))) < 1/(8n^4)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)$
Quindi in definitiva ho che
$cos(1/(2n^2)) <1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4$
$ln(1+(1/(8n^4))) < 1/(8n^4)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)$
sommando membro a membro
$cos(1/(2n^2)) + ln(1+(1/(8n^4))) <1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4+1/(8n^4)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)$
cioè
$cos(1/(2n^2)) + ln(1+(1/(8n^4))) <1+(1)/(384n^8)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)= 1-1/(192n^8)+1/(1536n^12)$
verifico che $1-1/(192n^8)+1/(1536n^12)$ sia minore di 1 per ogni n naturale
$1-1/(192n^8)+1/(1536n^12)<1$
$1/(192n^8)-1/(1536n^12)>0$
vera se $n>(192/1536)^(1/4)=0.6$, quindi vera per ogni n naturale.
quindi la serie è a termini positivi.
$1-cos(1/(2n^2))-ln(1+1/(8n^4))>0$
$cos(1/(2n^2))+ln(1+1/(8n^4))<1$
Le tue disuguaglianze non bastano, perchè hai dimostrato solo che la somma del coseno e del logarimo è minore di $1+1/20$ che è maggiore di 1.. si deve procedere in un altro modo. Un modo per dimostrarlo è questo.
Tu sai che:
$cos(1/(2n^2)) = 1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4 -a_4+a_5-a_6..$
ora, è facile notare che, chiamato $a_n$ il termine n esimo di questa somma, vale la relazione $a_n>a_(n+1)$ per ogni n naturale(notare che ho già espresso il segno, quindi gli $a_n$ sono tutti positivi). Quindi scrivendo la serie come
$cos(1/(2n^2)) = 1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4 -(a_4-a_5)-(a_6-a_7)-...$
si può notare che i termini tra parentesi sono tutti positivi. Perciò sussiste la disuguaglianza
$cos(1/(2n^2)) <1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4$
considero ora $ln(1+(1/(8n^4)))= 1/(8n^4) - (1)/(2) (1/(8n^4))^2 +1/(1536n^12)-a_4+a_5...$
con i discorsi analoghi a queli fatti in precedenza, la disuguaglianza che posso scrivere, valida per ogni n naturale è
$ln(1+(1/(8n^4))) < 1/(8n^4)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)$
Quindi in definitiva ho che
$cos(1/(2n^2)) <1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4$
$ln(1+(1/(8n^4))) < 1/(8n^4)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)$
sommando membro a membro
$cos(1/(2n^2)) + ln(1+(1/(8n^4))) <1-(1)/(2)(1/(2n^2))^2+(1)/(4!)(1/(2n^2))^4+1/(8n^4)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)$
cioè
$cos(1/(2n^2)) + ln(1+(1/(8n^4))) <1+(1)/(384n^8)-1/(128n^8)+1/(1536n^12)= 1-1/(192n^8)+1/(1536n^12)$
verifico che $1-1/(192n^8)+1/(1536n^12)$ sia minore di 1 per ogni n naturale
$1-1/(192n^8)+1/(1536n^12)<1$
$1/(192n^8)-1/(1536n^12)>0$
vera se $n>(192/1536)^(1/4)=0.6$, quindi vera per ogni n naturale.
quindi la serie è a termini positivi.
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