Discussione integrale improprio.
Buongiorno,
ho il seguente esercizio, dove mi chiede di verificare se il seguente integrale converge:
Procedo nel seguente modo:
Sia $f(x)=x+1-sqrt(x^2+2x+2)$
$X_f=mathbb{R}$
$I=[0,+infty[ subset mathbb{R}$ si ha un punto di singolarita in $+infty$.
$f(x)<0 forall x in I$, per cui possiamo applicare il criterio di convergenza assoluta per gli integrali, ovvero
$|f(x)|=|x+1-sqrt(x^2+2x+2)|$ \(\displaystyle \sim \) $|x-sqrt(x^2+2x)|=|x-x*sqrt(1+2/x)|=|x(sqrt(1+2/x)-1)|=2|(sqrt(1+2/x)-1)/(2/x)|,$
quando $x to infty$ allora $|f(x)|$ \(\displaystyle \sim \) $2(2/x)=1/x.$
Per il criterio del confronto asintotico si ha:
se converge $int_0^(+infty)1/x$, allora converge anche l'integrale di partenza.
Ma essendo un integrale notevole divergente $int_0^(+infty)1/x$, si ha la divergenza anche dell'integrale di partenza.
Vi chiedo se sono corretti i passaggi che ho fatto.
Cordiali saluti.
ho il seguente esercizio, dove mi chiede di verificare se il seguente integrale converge:
$int_0^(+infty)x+1-sqrt(x^2+2x+2)dx.$
Procedo nel seguente modo:
Sia $f(x)=x+1-sqrt(x^2+2x+2)$
$X_f=mathbb{R}$
$I=[0,+infty[ subset mathbb{R}$ si ha un punto di singolarita in $+infty$.
$f(x)<0 forall x in I$, per cui possiamo applicare il criterio di convergenza assoluta per gli integrali, ovvero
$|f(x)|=|x+1-sqrt(x^2+2x+2)|$ \(\displaystyle \sim \) $|x-sqrt(x^2+2x)|=|x-x*sqrt(1+2/x)|=|x(sqrt(1+2/x)-1)|=2|(sqrt(1+2/x)-1)/(2/x)|,$
quando $x to infty$ allora $|f(x)|$ \(\displaystyle \sim \) $2(2/x)=1/x.$
Per il criterio del confronto asintotico si ha:
se converge $int_0^(+infty)1/x$, allora converge anche l'integrale di partenza.
Ma essendo un integrale notevole divergente $int_0^(+infty)1/x$, si ha la divergenza anche dell'integrale di partenza.
Vi chiedo se sono corretti i passaggi che ho fatto.
Cordiali saluti.
Risposte
Ciao, non capisco perché tiri in ballo la convergenza assoluta. Tu hai:
\[ f(x)= x+1 - \sqrt{x^2+2x+2} = \frac{ x^2+2x +1 - x^2-2x-2}{x+1 - \sqrt{x^2+2x+2}} =-\frac{1}{x+1 + \sqrt{x^2+2x+2}} =:-g(x)\]
Verificare se converge l'integrale \( \int_0^{+ \infty} f(x)dx \) è equivalente a verificare se converge l'integrale \( \int_0^{+\infty} g(x)dx \) con \( g(x) >0 \).
Ma \[ g(x) = \frac{1}{x+1 + \sqrt{x^2+2x+2}} \sim \frac{1}{2x} \] quando \( x \to + \infty \) quindi l'integrale \( \int_0^{+\infty} g(x)dx \) non converge e dunque nemmeno l'integrale \( \int_0^{+ \infty} f(x)dx \).
Come hai scritto tu avresti dimostrato che $f$ non converge assolutamente che non implica che $f$ non converga!
\[ f(x)= x+1 - \sqrt{x^2+2x+2} = \frac{ x^2+2x +1 - x^2-2x-2}{x+1 - \sqrt{x^2+2x+2}} =-\frac{1}{x+1 + \sqrt{x^2+2x+2}} =:-g(x)\]
Verificare se converge l'integrale \( \int_0^{+ \infty} f(x)dx \) è equivalente a verificare se converge l'integrale \( \int_0^{+\infty} g(x)dx \) con \( g(x) >0 \).
Ma \[ g(x) = \frac{1}{x+1 + \sqrt{x^2+2x+2}} \sim \frac{1}{2x} \] quando \( x \to + \infty \) quindi l'integrale \( \int_0^{+\infty} g(x)dx \) non converge e dunque nemmeno l'integrale \( \int_0^{+ \infty} f(x)dx \).
Come hai scritto tu avresti dimostrato che $f$ non converge assolutamente che non implica che $f$ non converga!
Ciao per via del segno di $f$.
Potevo procedere anche in questo modo, ricordando che:
$f(x) le 0 forall x in[a,b]
$
"mi sono ricordato in secondo momento di questo"
Quindi è consigliabile usare il criterio di convergenza assoluta, solo quando $f$ è a segno variabile?
Potevo procedere anche in questo modo, ricordando che:
$f(x) le 0 forall x in[a,b]
$
$int_a^b f(x)dx=-int_a^b|f(x)|dx.$
"mi sono ricordato in secondo momento di questo"
Quindi è consigliabile usare il criterio di convergenza assoluta, solo quando $f$ è a segno variabile?
Esattamente a tutte e due le cose e ricorda che la convergenza assoluta ti permette di dedurre al massimo la convergenza e non la divergenza!
"Bremen000":
ricorda che la convergenza assoluta ti permette di dedurre al massimo la convergenza e non la divergenza!
quindi praticamente, lo svolgimento che ho fatto è sbagliato, cioè non posso dire nulla sulla convergenza o divergenza dell'integrale.
Come ci si comporta in questi casi ?
Si sceglie un'altra via o meglio un altro criterio, che ci da la determinazione della convergenza o divergenza?
Ti ho fatto vedere come puoi fare, basta usare il criterio del confronto asintotico! Guarda quello che ho scritto!
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