Discussione convergenza integrale parametrico

[rodrigoruiz1]

Salve, la mia insegnante di analisi sembra mettere sempre un esercizio sugli integrali col parametro e dire per quali valori converge e il motivo


http://postimg.org/image/hpqx3nyaf/

l'integrale è questo (non so come mettere i simboli ), non ho la minima idea di come iniziare con questo tipo di integrali per cui ringrazio per qualsiasi aiuto.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dato l'integrale improprio

[math]\int\limits_0^{+\infty} \frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}}\text{d}x\\[/math]

, con

[math]a \in \mathbb{R}[/math]

:

i) per

[math]x \to 0^+[/math]

:

[math]\frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}} \sim \frac{1 \cdot 3x}{x^a\,\sqrt[5]{2}} = \frac{3}{\sqrt[5]{2}}\frac{1}{x^{a - 1}}\\[/math]

;

ii) per

[math]x \to 2[/math]

:

[math]\frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}} \sim \frac{e^{-6a} \cdot \sin(6)}{2^a\,\sqrt[5]{2 - x}} = \frac{\sin(6)}{2^a\,e^{6a}}\frac{1}{(2 - x)^{\frac{1}{5}}}\\[/math]

;

iii) per

[math]x \to +\infty[/math]

:

[math]\left|\frac{e^{-3ax}\,\sin(3x)}{x^a\,\sqrt[5]{2 - x}}\right| \le \frac{e^{-3ax} \cdot 1}{x^a\,\sqrt[5]{x - 2}} \sim \frac{1}{x^{a + \frac{1}{5}}\,e^{3ax}}\\[/math]

.

A questo punto, ricordando il carattere degli integrali impropri notevoli:

i) si ha convergenza per

[math]a - 1 < 1[/math]

ossia

[math]a < 2\\[/math]

(divergenza altrimenti);

ii) si ha convergenza per

[math]\frac{1}{5} < 1[/math]

ossia per

[math]\forall\,a \in \mathbb{R}\\[/math]

;

iii) si ha convergenza per

[math]a \ge 0\\[/math]

(divergenza altrimenti).

Intersecando tali condizioni, si conclude che l'integrale improprio
in esame converge per

[math]0 \le a < 2[/math]

, diverge altrimenti. ;)

[rodrigoruiz1]

una domanda, non ho capito perchè da x^a passa a x^a+ 1/5

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Per

[math]x \to +\infty[/math]

, si ha

[math]x^a\,\sqrt[5]{x - 2} \sim x^a\,\sqrt[5]{x} = x^{a + \frac{1}{5}}[/math]

. ;)

[rodrigoruiz1]

Grazie mille!