Discontinuità prolungabile $f:RR^2->RR$

[nato_pigro1]

$f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+sin^2(y))$

stabilire se $f$ è prolungabile ad una funzione continua in $(1,pi)$

3 domande:
_io andando a vedere nel qualderno di analisi ho visto che ho definito la discontinuità eliminabile solo per funzioni da $R$ in $RR$, qui come si traduce?
_ho visto che il limite non esiste restringendo $f$ alle restrizioni $y=x+pi$ e $y=2x+pi$, nella prima mi veniva $f(x,y)=(x^3+x^2pi)/(x^2+sin^2(x))$ e la seconda $f(x,y)=(2x^3+x^2pi)/(x^2+sin^2(2x))$, ho derivato due volte e applicando l'Hopital ho visto che un limite veniva $pi/2$ e l'altro $pi/4$, è giusto come procedimento?
_un problema nel mio procedimento: quando faccio una restrizione di $f$ di solito l'idea è quella di andarsi a studiare un limite con una sola variabile, però come faccio a dire che se in $f(x,y)$ compaiono solo "$x$" allora è lecito passare a studiare un limite in una sola variabile?

domanda che non c'entra: se $AAx\in dom(f)$ $f$ è derivabile e $f'(x)=g(x)$ allora $g(x)$ può avere discontinuità solo di II specie. (intanto è vero?). Che non può averlo di prima specie è conseguenza del fatto che $f$ è derivabile in ogni punto, che non può avere discontinuità eliminabili è conseguenza di un corallario di Lagrange?

[dissonance]

"nato_pigro":$f(x,y)=(x^2*y)/(x^2+sin^2(y))$

stabilire se $f$ è prolungabile ad una funzione continua in $(1,pi)$

3 domande:
_io andando a vedere nel qualderno di analisi ho visto che ho definito la discontinuità eliminabile solo per funzioni da $R$ in $RR$, qui come si traduce?

Questa è facile se la singolarità è isolata: dati $Omega\subRR^N$ un aperto, $x_0\inOmega$, $f:Omega-{x_0}\toRR$ continua, è facile verificare che esiste un unico prolungamento continuo di $f$ se e solo se esiste $lim_{x\tox_0}f(x)$. (Se vuoi puoi dire che la discontinuità è eliminabile, ma non credo sia un linguaggio universale). (*)

_ho visto che il limite non esiste restringendo $f$ alle restrizioni $y=x+pi$ e $y=2x+pi$, nella prima mi veniva $f(x,y)=(x^3+x^2pi)/(x^2+sin^2(x))$ e la seconda $f(x,y)=(2x^3+x^2pi)/(x^2+sin^2(2x))$, ho derivato due volte e applicando l'Hopital ho visto che un limite veniva $pi/2$ e l'altro $pi/4$, è giusto come procedimento?

Ma quelle due rette mica passano per il punto $(1, pi)$.

_un problema nel mio procedimento: quando faccio una restrizione di $f$ di solito l'idea è quella di andarsi a studiare un limite con una sola variabile, però come faccio a dire che se in $f(x,y)$ compaiono solo "$x$" allora è lecito passare a studiare un limite in una sola variabile?

E' tutta questione del teorema sul limite della funzione composta. Ripeschiamo la $f$ di sopra e supponiamo che esista $lim_{x\tox_0}f(x)$. Allora se $Omega'\subRR^M$ aperto, $y_0\inOmega'$, $g:Omega'-{y_0}\toOmega-{x_0}$ tale che $lim_{y\toy_0}g(x)=x_0$, risulta che $lim_{y\toy_0}f(g(y))=lim_{x\tox_0}f(x)$ (l'esistenza del primo limite fa parte della conclusione). (Questa è la versione formale della tecnica di "cambiamento di variabile" nei limiti).
Ad esempio $g$ può essere la parametrizzazione di una retta o di una curva. In questo caso $Omega'=RR$ o $Omega'=[a, b]$ rispettivamente. Se non sono stato chiaro chiedi pure.

domanda che non c'entra: se $AAx\in dom(f)$ $f$ è derivabile e $f'(x)=g(x)$ allora $g(x)$ può avere discontinuità solo di II specie. (intanto è vero?). Che non può averlo di prima specie è conseguenza del fatto che $f$ è derivabile in ogni punto, che non può avere discontinuità eliminabili è conseguenza di un corallario di Lagrange?

Questo fatto è vero per funzioni reali di variabile reale. Per funzioni di più variabili dovresti specificare cosa intendi per $f'$. Se intendi una derivata parziale prima, su due piedi direi che il risultato è vero se il dominio di $f$ è convesso. Ma ci sarebbe da rifletterci un po'.

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(*) Per la verità il teorema di prolungamento riguarda situazioni molto più generali. Una versione dice: se $A\subRR^N$ e $f:A\toRR$, allora esiste un unico prolungamento continuo $g:bar{A}\toRR$ se e solo se $f$ è uniformemente continua.
[edit] dimenticavo: $g$ è continua. Altrimenti si banalizza tutto.

[gugo82]

Visto che il denominatore si annulla nei punti dell'insieme $\{(0,k pi)\}_(k \in ZZ)$, credo che nato_pigro volesse scrivere $(0,pi)$.
(Tra parentesi, in $(1,pi)$ la $f$ è continua.)

Inoltre, una volta che hai determinato due restrizioni lungo le quali quel limite assume due valori distinti, puoi subito dire che $lim_((x,y)\to (0,pi)) f(x,y)$ non esiste; quindi la discontinuità non può essere eliminabile.

Giusto per curiosità, faccio notare che la $f$ si conserva limitata intorno a $(0,pi)$: infatti è $|f(x,y)|<= |y|$, cosicché se $y$ è costretto in un intorno di $pi$, diciamo $]pi-delta,pi+delta[$ con $delta >0$, hai addirittura la maggiorazione $|f(x,y)|

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