Discontinuità integranda
$f(x)=\int_0^xg(t)dt$
Devo trovare il dominio di $f$.
Mettiamo che il dominio di $g$ sia $RR - {-1,0,3}$, in $3$ c'è una discontinuità di terza specie, in $0$ il limite destro tende a $+oo$ e quello sinistro a $-oo$ entrambi con grado di infinito $<1$, in $-1$ c'è una discontinuità di prima specie.
In questo caso il dominio di $f$ è $RR$? Nel caso della discontinuità di prima specie come lo giustifico?
Devo trovare il dominio di $f$.
Mettiamo che il dominio di $g$ sia $RR - {-1,0,3}$, in $3$ c'è una discontinuità di terza specie, in $0$ il limite destro tende a $+oo$ e quello sinistro a $-oo$ entrambi con grado di infinito $<1$, in $-1$ c'è una discontinuità di prima specie.
In questo caso il dominio di $f$ è $RR$? Nel caso della discontinuità di prima specie come lo giustifico?
Risposte
"nato_pigro":
$f(x)=\int_0^xg(t)dt$
Devo trovare il dominio di $f$.
Mettiamo che il dominio di $g$ sia $RR - {-1,0,3}$, in $3$ c'è una discontinuità di terza specie, in $0$ il limite destro tende a $+oo$ e quello sinistro a $-oo$ entrambi con grado di infinito $<1$, in $-1$ c'è una discontinuità di prima specie.
In questo caso il dominio di $f$ è $RR$? Nel caso della discontinuità di prima specie come lo giustifico?
Ti devi chiedere:
"dato $x$ e' vero oppure no che $g$ e' integrabile su $[0,x]$ ? (con la solita convenzione ne caso che $x<0$) "
La risposta puo' variare a seconda del tipo di integrale che stai considerando (di Riemann? di Riemann improprio ? di Lebesgue?)
La funzione integrale. E la risposta è: il punto appartiene al dominio della funzione inegrale se in quel punto l'integrale di riemann improprio converge. (e se l'integranda a ordine di infinitesimo minore di 1 allora converge). Quindi direi che se c'è una discontinuità di prima specie converge.
Il mio dubbio è: se in $0$ il limite destro dell'integranda tende a $+oo$ e si ha che l'integrale converge allora $0$ appartiene al dominio della funzione integrale. Poi, per vedere se anche l'intervallo aperto $(-1,0)$ è contenuto nel dominio della funzione integrale allora devo verificare che a sinistra di $0$ l'integrale indefinito converga, e provo a farlo con l'ordine di infinito della funzione integranda. Ora, se l'ordine di infinitesimo di dell'integranda in $0$ da sinistra è minore di 1 mi basta per provare quello che volevo oppure se i limite destro dell'integranda che tende a $0$ è $+oo$ e quello sinistro è $-oo$ è un problema?
Il mio dubbio è: se in $0$ il limite destro dell'integranda tende a $+oo$ e si ha che l'integrale converge allora $0$ appartiene al dominio della funzione integrale. Poi, per vedere se anche l'intervallo aperto $(-1,0)$ è contenuto nel dominio della funzione integrale allora devo verificare che a sinistra di $0$ l'integrale indefinito converga, e provo a farlo con l'ordine di infinito della funzione integranda. Ora, se l'ordine di infinitesimo di dell'integranda in $0$ da sinistra è minore di 1 mi basta per provare quello che volevo oppure se i limite destro dell'integranda che tende a $0$ è $+oo$ e quello sinistro è $-oo$ è un problema?
"nato_pigro":
La funzione integrale. E la risposta è: il punto appartiene al dominio della funzione inegrale se in quel punto l'integrale di riemann improprio converge.
Errore grave.
La risposta giusta è quella data da VG
Per capirci, se $f(x) = \int_{-3}^x 1/t \ dt$, la $f$ è definita in $]-oo,0[$.
mh, capito. Anche perchè ragionando come ragionavo io non capivo se dovevo "partite" a considerare l'intervallo più a destra o più a sinistra...
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