Discontinuità e continuità
Ciao, il libro "Calcolo" di Marcellini e Sbordone a pagina 331 introduce la Discontinuità con un esempio di funzione definita a tratti
\[
f(x)=\frac{|x|}{x}
\]
che assume valore costante $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$. Cito gli autori:
"è continua per $x\ne 0$, ma non è continua se $x=0$. Il grafico di questa funzione presenta per $x=0$ un salto, appunto una discontinuità".
Però nella dispensa dell'Università viene utilizzata la funzione $1/x^2$ come esempio di funzione continua su tutto il proprio dominio di definizione, cito gli autori della dispensa:
"La funzione $f(x)$ non è definita per $x=0$, e quindi non ha senso chiedersi se è continua in $x_0=0$."
Il lancelotti cataloga le funzioni $x^n$ con $n\in Z$ come funzioni continue sui rispettivi domini di definizione. Inoltre, Lancelotti per quanto riguarda i punti di discontinuità dichiara che
"affinché un punto $x_0$ sia di discontinuità per una funzione $f$, necessariamente $x_0$ deve appartenere a $dom(f)$ e deve essere un punto di accumulazione per $dom(f)$ dato che $f$ è continua nei punti isolati del suo dominio."
Non è in contrasto con quanto affermano Marcellini e Sbordone per il fatto che il punto $x_0=0$ non appartiene al dominio di $f(x)=\frac{|x|}{x}$?
\[
f(x)=\frac{|x|}{x}
\]
che assume valore costante $1$ se $x>0$ e $-1$ se $x<0$. Cito gli autori:
"è continua per $x\ne 0$, ma non è continua se $x=0$. Il grafico di questa funzione presenta per $x=0$ un salto, appunto una discontinuità".
Però nella dispensa dell'Università viene utilizzata la funzione $1/x^2$ come esempio di funzione continua su tutto il proprio dominio di definizione, cito gli autori della dispensa:
"La funzione $f(x)$ non è definita per $x=0$, e quindi non ha senso chiedersi se è continua in $x_0=0$."
Il lancelotti cataloga le funzioni $x^n$ con $n\in Z$ come funzioni continue sui rispettivi domini di definizione. Inoltre, Lancelotti per quanto riguarda i punti di discontinuità dichiara che
"affinché un punto $x_0$ sia di discontinuità per una funzione $f$, necessariamente $x_0$ deve appartenere a $dom(f)$ e deve essere un punto di accumulazione per $dom(f)$ dato che $f$ è continua nei punti isolati del suo dominio."
Non è in contrasto con quanto affermano Marcellini e Sbordone per il fatto che il punto $x_0=0$ non appartiene al dominio di $f(x)=\frac{|x|}{x}$?
Risposte
certamente sono in contrasto, ma puoi trovare tanti altri testi dove viene data una definizione o l'altra
ma in fondo stiamo parlando di definizioni
ad esempio,io prendo la funzione $y=1/(x-1)$
secondo una delle due scuole di pensiero non posso dire che in $x=1$ c'è una discontinuità di seconda specie ?
e chi se ne frega: comunque quando vado a fare lo studio di funzione devo disegnare un bell'asintoto verticale
ma in fondo stiamo parlando di definizioni
ad esempio,io prendo la funzione $y=1/(x-1)$
secondo una delle due scuole di pensiero non posso dire che in $x=1$ c'è una discontinuità di seconda specie ?
e chi se ne frega: comunque quando vado a fare lo studio di funzione devo disegnare un bell'asintoto verticale
OK grazie
Non ci sono due scuole di pensiero, si può parlare di continuità o discontinuità solo per punti del dominio, fuori la funzione non esiste.
@axpgn
stai negando l'evidenza
non mi sembra che marcellini e sbordone siano gli ultimi arrivati
ma ripeto, non sono gli unici
un po' meno di presunzione,please
stai negando l'evidenza
non mi sembra che marcellini e sbordone siano gli ultimi arrivati
ma ripeto, non sono gli unici
un po' meno di presunzione,please
cito testualmente il Fiorenza -Greco
"Si chiamano punti di discontinuità della funzione reale f definita in un insieme X, i punti che sono di accumulazione al finito per X ma non appartengono ad X e i punti di accumulazione che appartengono ad X nei quali la funzione non è continua"
il Fiorenza-Greco quindi ci dice che per la funzione $y=1/(x-1)$ il punto $x=1$ è un punto di discontinuità,per non parlare poi di molti testi di matematica del 5° scientifico( ma vabbè, lì potreste contestarmi che sono poco autorevoli )
ma ,ripeto, io non parteggio per nessuna delle due definizioni ( è chiaro che sono definizioni?) : mi sembra una questione di poca importanza, anche se c'è qualche conseguenza sugli esercizi da assegnare riguardo a questo argomento
il mio intervento era finalizzato solo a confermare all'utente che non tutti i matematici la pensano alla stessa maniera sulla definizione di discontinuità
"Si chiamano punti di discontinuità della funzione reale f definita in un insieme X, i punti che sono di accumulazione al finito per X ma non appartengono ad X e i punti di accumulazione che appartengono ad X nei quali la funzione non è continua"
il Fiorenza-Greco quindi ci dice che per la funzione $y=1/(x-1)$ il punto $x=1$ è un punto di discontinuità,per non parlare poi di molti testi di matematica del 5° scientifico( ma vabbè, lì potreste contestarmi che sono poco autorevoli )
ma ,ripeto, io non parteggio per nessuna delle due definizioni ( è chiaro che sono definizioni?) : mi sembra una questione di poca importanza, anche se c'è qualche conseguenza sugli esercizi da assegnare riguardo a questo argomento
il mio intervento era finalizzato solo a confermare all'utente che non tutti i matematici la pensano alla stessa maniera sulla definizione di discontinuità
"l'abatefarina":
@axpgn
stai negando l'evidenza ...
Se ti sente gugo
, prova a dirgli che $f(x)=1/x, g(x)=1/x^2, h(x)=|x|/x$ sono discontinue in zero ... Il fatto è che la continuità ha senso solo nel dominio altrimenti si potrebbe dire, per esempio, che $f(x)=ln(x)$ è discontinua dovunque in $x<0$
E non è affatto di poca importanza dato che esistono un po' di teoremi che utilizzano la continuità come prerequisito
vedo che non hai letto attentamente la definizione che ho riportato prima , altrimenti non avresti fatto l'esempio
cretino di $y=lnx$
non hai letto neanche che io non parteggio per nessuna delle due definizioni
prendo atto del fatto che secondo te Marcellini,Sbordone,Fiorenza e Greco sono dei deficienti
quindi, solo per questo mi sento di dirti che sei un poveretto
ultima cosa, il dubbio è sul concetto di discontinuità, non di continuità( neanche questo sei riuscito a capire?)
sulla definizione di continuità c'è l'unanimità
cretino di $y=lnx$
non hai letto neanche che io non parteggio per nessuna delle due definizioni
prendo atto del fatto che secondo te Marcellini,Sbordone,Fiorenza e Greco sono dei deficienti
quindi, solo per questo mi sento di dirti che sei un poveretto
ultima cosa, il dubbio è sul concetto di discontinuità, non di continuità( neanche questo sei riuscito a capire?)
sulla definizione di continuità c'è l'unanimità
Qualche spunto qui e là ...
@l'abatefarina
[ot]Peraltro non ho mai dato del deficiente a nessuno in vita mia e non mi pare proprio di averlo fatto ora.
E per quanto riguarda l'esempio "cretino" di $f(x)=ln(x)$, avevo letto che parlava di punti di accumulazione ma estendere la definizione della "sola" discontinuità (slegandola dalla continuità ovvero "discontinuo=non continuo") al fine di identificare punti che "potrebbero" diventare "continui" se "riportati" e "ridefiniti" all'interno del dominio, mi pare uno sforzo che crea più confusione che altro ... IMHO
Peraltro non capisco questa reazione, mi pare solo di avere espresso un mio parere, in modo normale, discutibile quanto vuoi ma è il mio parere ... che ci posso fare ...[/ot]
Cordialmente, Alex
@l'abatefarina
[ot]Peraltro non ho mai dato del deficiente a nessuno in vita mia e non mi pare proprio di averlo fatto ora.
E per quanto riguarda l'esempio "cretino" di $f(x)=ln(x)$, avevo letto che parlava di punti di accumulazione ma estendere la definizione della "sola" discontinuità (slegandola dalla continuità ovvero "discontinuo=non continuo") al fine di identificare punti che "potrebbero" diventare "continui" se "riportati" e "ridefiniti" all'interno del dominio, mi pare uno sforzo che crea più confusione che altro ... IMHO
Peraltro non capisco questa reazione, mi pare solo di avere espresso un mio parere, in modo normale, discutibile quanto vuoi ma è il mio parere ... che ci posso fare ...[/ot]
Cordialmente, Alex
indirettamente lo hai dato perche sì , te lo confermo,secondo i matematici che ho citato
la funzione $y=1/x$ ha una discontinuità in $ x=0 $e tu hai detto che questa è un'affermazione ridicola; hai riso di loro, io ho riportato solo il loro punto di vista
ribadisco che l'esempio è cretino perchè $0$ è punto di accumulazione per il dominio di $y=lnx$, non certo un qualsiasi numero negativo
ma la cosa più grave è che tu non hai capito ancora che per me non c'è una definizione giusta e una sbagliata
Hai fatto polemica su questa mio concetto : "Non tutti i matematici danno la stessa definizione di discontinuità"
Negare ciò, è come negare che il sole sorge al mattino e tramonta la sera
la funzione $y=1/x$ ha una discontinuità in $ x=0 $e tu hai detto che questa è un'affermazione ridicola; hai riso di loro, io ho riportato solo il loro punto di vista
ribadisco che l'esempio è cretino perchè $0$ è punto di accumulazione per il dominio di $y=lnx$, non certo un qualsiasi numero negativo
ma la cosa più grave è che tu non hai capito ancora che per me non c'è una definizione giusta e una sbagliata
Hai fatto polemica su questa mio concetto : "Non tutti i matematici danno la stessa definizione di discontinuità"
Negare ciò, è come negare che il sole sorge al mattino e tramonta la sera
"l'abatefarina":Dove? Quando? Indirettamente?
indirettamente lo hai dato ...
"l'abatefarina":Dove? Quando?
... tu hai detto che questa è un'affermazione ridicola; ...
"l'abatefarina":Dove? Quando?
... hai riso di loro, ...
Per favore, non fare il processo alle intenzioni, ho solo espresso il mio punto di vista (che poi non è solo mio)
Ti ripeto che avevo letto quella definizione e so cos'è un punto di accumulazione, l'esempio che ho fatto era solo per evidenziare che se si prendono in considerazione anche punti fuori dal dominio puoi avere definizioni che portano a situazioni contradditorie.
Inoltre non ho negato affatto che tra i matematici possano esserci visioni diverse, questo è del tutto normale, ma volevo sottolineare il fatto che la definizione decisamente prevalente non è quella che citi.
Dici che sul concetto di continuità c'è unanimità ovvero diciamo che una funzione è continua se tutti i suoi punti sono punti di continuità; ok?
Allora possiamo dire che la funzione $f(x)=|x|/x$, definita su tutto $RR$ tranne che in zero, è continua; ok?
Secondo la definizione di discontinuità che citi però avremmo un punto di discontinuità in $x=0$ ovvero la nostra funzione non è continua.
Allora quella funzione è continua oppure no?
Come vedi quella "estensione" della continuità non mi pare sia utile anzi ... IMHO
Cordialmente, Alex
Quella definizione di discontinuità sul Fiorenza & Greco l'ho sempre trovata una nota stonata su un testo altrimenti ben fatto.
dice axpgn
Secondo la definizione di discontinuità che citi però avremmo un punto di discontinuità in x=0 ovvero la nostra funzione non è continua.
Allora quella funzione è continua oppure no?
nessuno matematico dirà che è continua : qualcuno dirà che è discontinua, qualcuno che non ha senso porsi la domanda
viceversa, se un matematico dice che una funzione è continua in un punto nessun matematico lo contraddirà
è tanto difficile da capire ?
dice axpgn
Inoltre non ho negato affatto che tra i matematici possano esserci visioni diverse, questo è del tutto normale, ma volevo sottolineare il fatto che la definizione decisamente prevalente non è quella che citi.
Mai detto che sia prevalente
Viceversa tu hai detto
Secondo la definizione di discontinuità che citi però avremmo un punto di discontinuità in x=0 ovvero la nostra funzione non è continua.
Allora quella funzione è continua oppure no?
nessuno matematico dirà che è continua : qualcuno dirà che è discontinua, qualcuno che non ha senso porsi la domanda
viceversa, se un matematico dice che una funzione è continua in un punto nessun matematico lo contraddirà
è tanto difficile da capire ?
dice axpgn
Inoltre non ho negato affatto che tra i matematici possano esserci visioni diverse, questo è del tutto normale, ma volevo sottolineare il fatto che la definizione decisamente prevalente non è quella che citi.
Mai detto che sia prevalente
Viceversa tu hai detto
"axpgn":
Non ci sono due scuole di pensiero, si può parlare di continuità o discontinuità solo per punti del dominio, fuori la funzione non esiste
Per la verità mi sembra che non si possa parlare nemmeno di 'scuole di pensiero', visto che la questione non è di grande rilevanza teorica, basta intendersi.
Nella mia esperienza di corsi al Dipartimento di matematica alla Sapienza non ho mai visto professori dare importanza a questa questione, e gli stessi professori, parlando, oscillavano tra una definizione e l'altra, senza darvi importanza.
Scrive Giusti (la cui opinione trovo sempre autorevole) in Analisi I, 3° ed. p. 228, a proposito dei punti di discontinuità:
"A volte, come ad esempio nel caso di $(sin (x))/x$, può accadere che una funzione abbia limite per $ xrarr x_0 $ , ma non sia definita nel punto $x_0$. Anche in questo caso, benché a rigore non sia possibile parlare della continuità di $f(x)$ in $x_0$ (perché si possa parlare di continuità di una funzione in un punto, occorre che la funzione sia definita in quel punto), si dice che la funzione ha una discontinuità eliminabile [...]."
Si tratta quindi di usanze. Probabilmente queste usanze e una definizione come quella di Fiorenza-Greco hanno in mente di salvaguardare l'idea intuitiva di una funzione continua come funzione 'tutta di un pezzo': si usa dire che $(sin (x))/x$ è discontinua, a nessuno verrebbe mai in mente di dire che il logaritmo è discontinuo.
Nella mia esperienza di corsi al Dipartimento di matematica alla Sapienza non ho mai visto professori dare importanza a questa questione, e gli stessi professori, parlando, oscillavano tra una definizione e l'altra, senza darvi importanza.
Scrive Giusti (la cui opinione trovo sempre autorevole) in Analisi I, 3° ed. p. 228, a proposito dei punti di discontinuità:
"A volte, come ad esempio nel caso di $(sin (x))/x$, può accadere che una funzione abbia limite per $ xrarr x_0 $ , ma non sia definita nel punto $x_0$. Anche in questo caso, benché a rigore non sia possibile parlare della continuità di $f(x)$ in $x_0$ (perché si possa parlare di continuità di una funzione in un punto, occorre che la funzione sia definita in quel punto), si dice che la funzione ha una discontinuità eliminabile [...]."
Si tratta quindi di usanze. Probabilmente queste usanze e una definizione come quella di Fiorenza-Greco hanno in mente di salvaguardare l'idea intuitiva di una funzione continua come funzione 'tutta di un pezzo': si usa dire che $(sin (x))/x$ è discontinua, a nessuno verrebbe mai in mente di dire che il logaritmo è discontinuo.
"l'abatefarina":[/quote]
Mai detto che sia prevalente
Viceversa tu hai detto
[quote="axpgn"]Non ci sono due scuole di pensiero, si può parlare di continuità o discontinuità solo per punti del dominio, fuori la funzione non esiste
Perché lo è.
Ovvero è prevalente la definizione che sostengo.
Hai letto i link che ti ho postato? Hai letto ciò che ha detto gugo? Hai letto ciò che ha postato gabriella ovvero ciò che dice Giusti?
E pure sul fatto che sia poco importante non sono d'accordo: quanti teoremi hanno tra le ipotesi la continuità di una funzione? Un sacco ...
Tra l'altro, quante volte ho letto gugo sostenere, senz'ombra di dubbio, che $f(x)=1/x$ è continua?
E il forum è pieno di situazioni simili ... quindi non è vero che "nessun matematico dirà che è continua" dato che almeno uno c'è l'abbiamo (a meno che tu sostenga che gugo non lo sia ... )
Ok, benissimo, quando vi sarete accordati fatemelo sapere ...
E, ripeto, io non ho mai offeso nessuno ...
[hide="Commenti che sarebbero stati meglio in PM."]E pure sul fatto che sia poco importante non sono d'accordo: quanti teoremi hanno tra le ipotesi la continuità di una funzione? Un sacco ..
ancora ripeti questa frase ? comincio a trovarti leggermente ottuso
Tra l'altro, quante volte ho letto gugo sostenere, senz'ombra di dubbio, che $f(x)=1/x $è continua?
dice che è continua in tutto il suo dominio
cosa c'entra col fatto che per alcuni matematici in $x=0$ la funzione è discontinua mentre per altri non ha senso porsi il problema?
oltre all'ottusità, comincio a scorgere anche la malafede
basta così, per me la discussione è chiusa ; ti lascio volentieri l'ultima parola che certamente ti prenderai (ho capito bene che tipo sei dietro i tuoi sorrisetti; pur di non ammettere di aver detto una cosa errata uccideresti tua madre)
qual è la cosa errata?
il tuo primo intervento a c......o nel quale affermavi che nel mondo matematico non c'è una discussione sulla definizione di discontinuità in un punto ; e non essere patetico nell'aggrapparti alla frase "scuole di pensiero" perchè è chiaro quello che intendevo dire
p.s troverei molto strano che tu fossi laureato in matematica,fisica o ingegneria
Per la verità mi sembra che non si possa parlare nemmeno di 'scuole di pensiero', visto che la questione non è di grande rilevanza teorica, basta intendersi.
Nella mia esperienza di corsi al Dipartimento di matematica alla Sapienza non ho mai visto professori dare importanza a questa questione, e gli stessi professori, parlando, oscillavano tra una definizione e l'altra, senza darvi importanza.
parole sante, come ho già detto prima l'espressione "scuole di pensiero" era solo un'espressione fiorita, ironica,..[/hide]
ancora ripeti questa frase ? comincio a trovarti leggermente ottuso
Tra l'altro, quante volte ho letto gugo sostenere, senz'ombra di dubbio, che $f(x)=1/x $è continua?
dice che è continua in tutto il suo dominio
cosa c'entra col fatto che per alcuni matematici in $x=0$ la funzione è discontinua mentre per altri non ha senso porsi il problema?
oltre all'ottusità, comincio a scorgere anche la malafede
basta così, per me la discussione è chiusa ; ti lascio volentieri l'ultima parola che certamente ti prenderai (ho capito bene che tipo sei dietro i tuoi sorrisetti; pur di non ammettere di aver detto una cosa errata uccideresti tua madre)
qual è la cosa errata?
il tuo primo intervento a c......o nel quale affermavi che nel mondo matematico non c'è una discussione sulla definizione di discontinuità in un punto ; e non essere patetico nell'aggrapparti alla frase "scuole di pensiero" perchè è chiaro quello che intendevo dire
p.s troverei molto strano che tu fossi laureato in matematica,fisica o ingegneria
Per la verità mi sembra che non si possa parlare nemmeno di 'scuole di pensiero', visto che la questione non è di grande rilevanza teorica, basta intendersi.
Nella mia esperienza di corsi al Dipartimento di matematica alla Sapienza non ho mai visto professori dare importanza a questa questione, e gli stessi professori, parlando, oscillavano tra una definizione e l'altra, senza darvi importanza.
parole sante, come ho già detto prima l'espressione "scuole di pensiero" era solo un'espressione fiorita, ironica,..[/hide]
[hide="."]il moderatore globale o imperatore dell'universo mi scrive : per queste idiozie usa i messaggi privati
non uso il messaggio privato perchè stiamo parlando di matematica e ho detto tutte cose corrette
è l'altro utente che ha fatto disinformazione[/hide]
non uso il messaggio privato perchè stiamo parlando di matematica e ho detto tutte cose corrette
è l'altro utente che ha fatto disinformazione[/hide]
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