Discontinuità di una funzione negli insiemi R e R - Q

[gionninox]

Salve a tutti e buon pomeriggio. Sono nuovo, sto affrontando l'università e in particolare ho un problema su un esercizio trovato sul testo degli esercizi. Cita questo:" Verificare che la funzione definita in R da $ F(x)={(1, x in R ), (0, x in R - Q):} $ Non è continua in alcun punto. Che tipo di discontinuità ammette tale funzione? ". Ora non mettendo niente per scontato vorrei capire a fondo questo tipo di problema con il vostro aiuto. Prima di tutto voglio partire dalle fondamenta. Le mie $ f(x) $ da prendere in considerazione sono $ f(x)=1 $ e $ f(x)=0 $ ho capito bene? Poi in particolare il secondo insieme ovvero R-Q sarebbero tutti i punti dell'insieme R esclusi i numeri appartenenti all'insieme dei razionali (quindi in pratica parliamo dei radicali ad esempio). Inoltre i numeri interi non sono inclusi perché sono stati sottratti con l'insieme Q vero? Io traggo la conclusione dell'esercizio basandomi sul fatto che 1 essendo appartenente in R grazie a Q con l'esclusione di tale insieme 1 non fa più parte del nuovo insieme R - Q quindi specialmente per la seconda parte della funzione non esiste nessun punto in cui è definita. Non mi spiego però la prima parte perché 0 è incluso in R. L'esercizio mi propone come soluzione che questa funzione presenta una discontinuità di seconda specie grazie al fatto che non esiste un limite destro utilizzando queste disuguaglianze a me non chiare: $ a < x < delta + a rArr |f(x)-l|<1/2 $ (preciso che non mi è chiaro solo perché utilizza queste disuguaglianze e non la disuguaglianza in sè). Inoltre supponendo che esista un limite destro, mi propone il ragionamento che arriva al punto di impostare un l>0 per il limite che applicato alla prima funzione da come risultato l<1/2 (partendo sempre da $ |f(x)-l|<1/2 $ suppongo) e alla seconda parte della funzione da come risultato $ |1-l|<1/2 $. Non capisco da dove tira fuori questo 1/2 che cita. Ho allegato un immagine per un riferimento chiaro al 100%. Scusate se forse sembra una soluzione un po' stravagante ma voglio provare a fare le cose a modo mio .La mia soluzione finale è che in 0 la funzione esiste per via dell'insieme R non condizionato dal secondo insieme. Ho solo una piccola ipotesi che mi è appena venuta in mente: non è che per $ a $ che io intendo x0 si supponga un qualsiasi valore preso e siccome 0 e 1 non sono funzioni con variabili quindi sono costanti, x0 non centra nulla con le funzioni?

[feddy]

ciao, benvenuto sul forum.

Ti invito a leggere questa discussione mia e di altri utenti sulla funzione di Dirichlet, che è proprio quello che cerchi.

Le disuguaglianze che non ti tornano sono semplicemente la definizione di limite...

[gionninox]

Innanzitutto ti ringrazio della risposta. Si ho capito che sono le definizioni di limite, ma vorrei capire come arriva ad avere un mezzo.

[gionninox]

Cioè io ho: $|f(x)-l|<\varepsilon \rightarrow -\varepsilon Poi applico i valori e ho: $|1-l|<\varepsilon \rightarrow -\varepsilon <1-l< \varepsilon$
$|0-l|<\varepsilon \rightarrow -\varepsilon <0-l< \varepsilon$
Scusate se sono troppo esplicito ma meglio esprimere tutto me stesso così da rendere evidente tutte le parti che potrebbero essere fragili. Fin qui come va tutto bene?

[gionninox]

Forse ho capito: 1/2 sarebbe epslon scelto arbitrariamente, ho fatto solo i limiti da destra su Q e R - Q e uno mi viene l<1/2 e l'altro l>1/2 e questo non può essere vero ,corretto?

[feddy]

Certo, $1/2$ è stato un valore scelto arbitrariamente per fissare le idee...

e ha mostrato che prendendo prima un punto in $RR$e poi un punto in $RR/QQ$ ha trovato valori diversi

[gionninox]

Si esatto, adesso ci sono.