Discontinuità della funzione di Dirichlet

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4 lug 2023, 09:23

Buongiorno, sto provando a capire quali sono i punti di discontinuità della funzione di Dirichlet su i razionali, cioè

$f: RR to RR$, $f(x)=1$, se $x in QQ$, $f(x)=0$, se $x in RR\\QQ$

Procedo nel seguente modo:
$x_0 in RR$ allora $x_0 in QQ \vee x_0 in RR\\QQ$, per cui $x_0 in QQ \to f(x_0)=1$, $x_0 in RR\\QQ \to f(x_0)=0$

In generale una funzione di variabile reale risulta essere continua in un punto $x_0$ se si verifica

$lim_(x to x_0^-)f=f(x_0)=lim_(x to x_0^+)f$

Sia $x_0 in QQ$, dunque
$lim_(x to x_0^-)f(x)=1 <=> forall epsilon>0 exists delta=delta(epsilon)>0 \ : forall x in RR, \ x in(x_0-delta,x_0) => |f(x)-1| dall'altra parte $RR\\QQ$ è denso in $RR$, cioè esiste $a in RR\\QQ$ tale che $x_0-delta

$|f(x)-1|-epsilon -epsilon<-1
essendo $epsilon$ arbitrario, posso prendere $epsilon=1/2$, la quale contradice l'equivalenza.
Quindi, il precedente limite non esiste, allora la funzione presenta in tale punto una discontinua di seconda specie.

Sia $x_0 in RR\\QQ$, dunque
$lim_(x to x_0^-)f(x)=0 <=> forall epsilon>0 exists delta=delta(epsilon)>0 \ : forall x in RR, \ x in(x_0-delta,x_0) => |f(x)| dall'altra parte $QQ$ è denso in $RR$, cioè esiste $r in QQ$ tale che $x_0-delta

$|f(x)|-epsilon -epsilon<1
essendo $epsilon$ arbitrario, posso prendere $epsilon=1/4$, la quale contradice l'equivalenza.
Quindi, il precedente limite non esiste, allora la funzione presenta in tale punto una discontinua di seconda specie.

Dunque, la funzione di Dirichlet, è discontinua in ogni suo punto, è la discontinuità è di seconda specie.

Va bene come dimostrazione ?