Discontinuità

[monetaria]

il mio prof ha detto che se una funzione è definita su di un insieme chiuso e limitato non si possono presentare discontinuità di 2 specie..ma basta dire che cioò non avviene perchè la funzione è limitata? o c'è una dimostrazione rigorosa?

[darinter]

"monetaria":il mio prof ha detto che se una funzione è definita su di un insieme chiuso e limitato non si possono presentare discontinuità di 2 specie..ma basta dire che cioò non avviene perchè la funzione è limitata? o c'è una dimostrazione rigorosa?

Penso che si può vedere come un corollario del teorema di Weierstrass

[monetaria]

nn capisco bene cosa intendi..

[darinter]

"monetaria":nn capisco bene cosa intendi..

No,scusa ho sbagliato pensavo che la funzione fosse continua in un intervallo chiuso e limitato,non c'entra Weierstrass.Nel caso in cui è solo definita in un compatto penso che basti dire che è limitata dunque può assumere solo valori finiti...

[adaBTTLS1]

secondo me è sottinteso che la funzione sia "continua quasi ovunque", cioè sia del tipo come tutte le funzioni definite in maniera "elementare", nel senso di una unica espressione analitica. in generale infatti non mi pare sia vero. prendi ad esempio la classica funzione di Dirichlet definita nell'intervallo [0,1] che associa ad ogni numero razionale 1 e ad ogni numero irrazionale 0..... la discontinuità di seconda specie non è solo del tipo limite infinito ma anche di non esistenza del limite....

[_Tipper]

Oppure si potrebbe anche definire una funzione siffatta: $f: [-1, 1] \to \mathbb{R}$, $f(x) = \{(0, "se " x = 0),(\frac{1}{x}, "altrimenti"):}$

[Fioravante Patrone1]

"monetaria":se una funzione è definita su di un insieme chiuso e limitato non si possono presentare discontinuità di 2 specie

detto cosi' e' falso

"monetaria":basta dire che cioò non avviene perchè la funzione è limitata? o c'è una dimostrazione rigorosa?

Secondo me faresti meglio a riguardare gli appunti.
E/o a chiarirti le idee.
Se una funzione e' definita su un insieme chiuso e limitato non e' per nulla garantito che sia limitata.
E, se anche lo fosse, non ne seguirebbe la tesi che ti interessa.

Quanto alla domanda su una "dimostrazione rigorosa", spiacente. Le dimostrazioni, se sono tali, sono solo rigorose.