Diritte su esercizi di analisi II
salve, vi chiedo per cortesia delle diritte, uno schema sui passi da seguire per risolvere esercizi tipo come i seguenti:
1)Studiare la seguente forma differenziale :
$w=(sqrt{x^2+y^2}+x^2/(sqrt{x^2+y^2}))dx + xy/(sqrt(x^2+y^2)dy)$
e determinare la primitiva che si annulla in (-1,-1)
(vi chiedo,ma la primitiva in questo esercizio è sempre possibile determinarla o ci sono casi in cui non è possibile???)
2) Calcolare il seguente integrale doppio
$\int int e^(x^2+y^2) dxdy$ sul dominio T= {(x,y): x>=0,y>=x,x^2+y^2<=1}
3) Determinare gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y,z)=x^2-y+z^2$
sul vincolo $x^2/4+y^2+3z^2-1=0$
(tale esercizio va risolto con il metodo dei moltiplicatori di lagrange)
grazie mille per l'aiuto, questi sono esercizi tipici dell'esame e devo esercitarmi, grazie in anticipo.
1)Studiare la seguente forma differenziale :
$w=(sqrt{x^2+y^2}+x^2/(sqrt{x^2+y^2}))dx + xy/(sqrt(x^2+y^2)dy)$
e determinare la primitiva che si annulla in (-1,-1)
(vi chiedo,ma la primitiva in questo esercizio è sempre possibile determinarla o ci sono casi in cui non è possibile???)
2) Calcolare il seguente integrale doppio
$\int int e^(x^2+y^2) dxdy$ sul dominio T= {(x,y): x>=0,y>=x,x^2+y^2<=1}
3) Determinare gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y,z)=x^2-y+z^2$
sul vincolo $x^2/4+y^2+3z^2-1=0$
(tale esercizio va risolto con il metodo dei moltiplicatori di lagrange)
grazie mille per l'aiuto, questi sono esercizi tipici dell'esame e devo esercitarmi, grazie in anticipo.
Risposte
2) Trova la parametrizzazione più comoda del dominio di integrazione, in questo caso in coordinate polari: $ T = {(rho,sigma) | 0
3)Devi risolvere il sistema: $ { ( (delf)/(delx) = lambda(delg)/(delx) ),( (delf)/(dely) = lambda(delg)/(dely) ),( (delf)/(delz) = lambda(delg)/(delz) ),( g=0 ):} $ (cioè cercare i punti stazionari della lagrangiana) dove $ g $ è la funzione che rappresenta il vincolo. Le soluzioni del sistema sono quaterne di numeri $ (x_0,y_0,z_0,lambda_0) $ dove $ (x_0,y_0,z_0) $ è il punto stazionario che ti interessa. Per vedere se è di massimo o minimo di solito torna utile Weierstrass: in questo caso, ad esempio, il vincolo è un insieme chiuso e limitato (è un ellissoide); e quindi dal calcolo esplicito di $ f(x_0,y_0,z_0) $ o tramite osservazioni sul segno puoi dire se f è di massimo o di minimo
ad esempio se ottieni due soluzioni del sistema $ (x_1,y_1,z_1,lambda_1) $ e $ (x_2,y_2,z_2,lambda_2) $ e vedi che $ f(x_2,y_2,z_2) > f(x_1,y_1,z_1) $ allora $(x_2,y_2,z_2)$ è di massimo e$(x_1,y_1,z_1)$ è di minimo vincolato
3)Devi risolvere il sistema: $ { ( (delf)/(delx) = lambda(delg)/(delx) ),( (delf)/(dely) = lambda(delg)/(dely) ),( (delf)/(delz) = lambda(delg)/(delz) ),( g=0 ):} $ (cioè cercare i punti stazionari della lagrangiana) dove $ g $ è la funzione che rappresenta il vincolo. Le soluzioni del sistema sono quaterne di numeri $ (x_0,y_0,z_0,lambda_0) $ dove $ (x_0,y_0,z_0) $ è il punto stazionario che ti interessa. Per vedere se è di massimo o minimo di solito torna utile Weierstrass: in questo caso, ad esempio, il vincolo è un insieme chiuso e limitato (è un ellissoide); e quindi dal calcolo esplicito di $ f(x_0,y_0,z_0) $ o tramite osservazioni sul segno puoi dire se f è di massimo o di minimo
ad esempio se ottieni due soluzioni del sistema $ (x_1,y_1,z_1,lambda_1) $ e $ (x_2,y_2,z_2,lambda_2) $ e vedi che $ f(x_2,y_2,z_2) > f(x_1,y_1,z_1) $ allora $(x_2,y_2,z_2)$ è di massimo e$(x_1,y_1,z_1)$ è di minimo vincolato
1) osserva il dominio della forma differenziale: otterrai che la forma non è esatta in tutto $RR^2$ quindi la primitiva si può calcolare solo in un sottoinsieme opportuno
grazie per l'aiuto ragazzi, sono riuscito a fare una decina di esercizi, però tre esercizi che mi sono trovato davanti nelle prove sulle quali mi sto esercitando non sono riuscito a risolverli. Sono questi tre:
ho problemi a parametrizzare il dominio dei seguenti integrali doppi:
$\int int (x-1)/((x-1)^2+y^2) dxdy $ sul dominio: $T={(x,y): (x-1)^2+y^2>=1; 0<=y<=root(2)(3)(x-1); 1<=x<=2}$
$\int int (y-1)/((y-1)^2+x^2) dxdy $ sul dominio: $T={(x,y): (y-1)^2+x^2>=1; x>=0;y>=root(2)(3)/2x+1; 1<=y<=2}$
l'altro è un esercizio che dice di determinare un'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti che ammette come soluzioni :
y1=1 e y2= x
grazie ancora per gli aiuti.
ho problemi a parametrizzare il dominio dei seguenti integrali doppi:
$\int int (x-1)/((x-1)^2+y^2) dxdy $ sul dominio: $T={(x,y): (x-1)^2+y^2>=1; 0<=y<=root(2)(3)(x-1); 1<=x<=2}$
$\int int (y-1)/((y-1)^2+x^2) dxdy $ sul dominio: $T={(x,y): (y-1)^2+x^2>=1; x>=0;y>=root(2)(3)/2x+1; 1<=y<=2}$
l'altro è un esercizio che dice di determinare un'equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti che ammette come soluzioni :
y1=1 e y2= x
grazie ancora per gli aiuti.
sono entrambi da fare con le coordinate polari: nel primo basta centrarle in (1,0), nel secondo in (0,1).
per l'equazione differenziale, non ti dice di che ordine?
per l'equazione differenziale, non ti dice di che ordine?
no, non c'è scritto di che ordine, dice solo di individuare un'equazione differenziale omogenea che abbia quelle soluzioni,
per quanto riguarda gli integrali grazie del consiglio, domani provo a centrare la circonferenze e vedo se riesco a risolverli.
per quanto riguarda gli integrali grazie del consiglio, domani provo a centrare la circonferenze e vedo se riesco a risolverli.
scusate se uso sempre lo stesso post, ma lo faccio per evitare di aprire post per ogni esercizio, tanto si tratta sempre di esercizi di analisi 2.
Avrei dei problemi con il seguente integrale:
$\int int x root(2)(x^2+y^2) dxdy$ sul dominio $D{(x,y) : x^2+y^2<=2 e y>=1/2}$
lo svolgo con le coordinate polari, e se nn ho sbagliato l'angolo ho:
$\int_{1/2}^{1} rho^3 drho \int_{pi/6}^{(5/6)pi} costheta d theta$ però il secondo integrale che è $sintheta$ calcolandolo negli etremi mi viene 1-1=0. Dov è che sbaglio???
grazie.
Avrei dei problemi con il seguente integrale:
$\int int x root(2)(x^2+y^2) dxdy$ sul dominio $D{(x,y) : x^2+y^2<=2 e y>=1/2}$
lo svolgo con le coordinate polari, e se nn ho sbagliato l'angolo ho:
$\int_{1/2}^{1} rho^3 drho \int_{pi/6}^{(5/6)pi} costheta d theta$ però il secondo integrale che è $sintheta$ calcolandolo negli etremi mi viene 1-1=0. Dov è che sbaglio???
grazie.
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