Direzione decrescita f(x,y)

[unielli95]

Buongiorno,
Mi sono imbattuto in un esercizio che mi chiede di determinare la direzione di massima decrescita di una funzione in un determinato punto.
Ora so che la direzione di massima crescita la si trova tramite il gradiente ma come trovo la massima decrescita? Io ho pensato di calcolare il gradiente nel punto e fare il prodotto scalare con un vettore generico e quindi porre tutto $<0$ ma così troverei le direzioni di decrescita ma non quella di massima decrescita, come potrei fare?

$f(x,y) =e^(xy) + e^(-x^2-y^2)$
$P=(-1 ,1)$

[anto_zoolander]

Se il gradiente ti da la massima direzione di crescita(con verso)
L’opposto del gradiente che fa?

[unielli95]

Ci ho pensato ma siamo sicuri che la direzione opposta al gradiente sia quella di massima decrescita? Pensando alla superficie del grafico mi sono venuti comunque dei dubbi; seguendo il tuo consiglio quindi dovrei provare ad utilizzare la direzione opposta a quella indicata dal gradiente?

[anto_zoolander]

Beh se ci pensi, quando $f$ è differenziabile vale $partial_vec(v)f(x,y)=nablaf(x,y)*vec(v)$
Quindi per ogni direzione $vec(v)$ (vettore di norma unitaria)

[size=120]$|partial_vec(v)f(x,y)|=|nablaf(x,y)*vec(v)|leq||nablaf(x,y)|| * ||vec(v)|| = ||nablaf(x,y)||$[/size]

$-||nablaf(x,y)||leqpartial_vec(v)f(x,y)leq||nablaf(x,y)||$

Quindi significa che, per Cauchy-Schwartz, l’uguaglianza se $vec(v)$ è la direzione parallela al gradiente.
In base a questo dovrebbe essere chiaro che fissato $(x,y) inDom(f)$

$min{partial_vec(v) f(x,y) | vec(v) inRR^n: ||vec(v)|| =1}=-||nablaf(x,y)||$

[unielli95]

ok grazie mille!!!