Dire se una funzione è differenziabile
Data la funzione:
g(x,y)= $\{(xy(x^2 -y^2)/(x^2+y^2)) ,(0):}$
rispettivamente se (x,y)$\ne$(0,0) e la seconda se (x,y)=(0,0);
Dire se è differenziabile in (0,0),verificato continuita' e derivate parziali,
Come faccio a calcolarmi il limite :
$lim_((h,k)->(0,0))(hk(h^2-k^2))/(sqrt(h^2+k^2)(h^2+k^2))$
Vorrei applicare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,come posso fare?
(Potrei risolvere il limite considerando una retta generica k=mh con m$in$$RR$ ? )
Grazie anticipatamente.
g(x,y)= $\{(xy(x^2 -y^2)/(x^2+y^2)) ,(0):}$
rispettivamente se (x,y)$\ne$(0,0) e la seconda se (x,y)=(0,0);
Dire se è differenziabile in (0,0),verificato continuita' e derivate parziali,
Come faccio a calcolarmi il limite :
$lim_((h,k)->(0,0))(hk(h^2-k^2))/(sqrt(h^2+k^2)(h^2+k^2))$
Vorrei applicare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz,come posso fare?
(Potrei risolvere il limite considerando una retta generica k=mh con m$in$$RR$ ? )
Grazie anticipatamente.
Risposte
col denominatore in questa forma io passerei a coordinate polari, con qualche passaggio il limite dovrebbe venire $0$
Ma è lecito utilizzare le coordinate polari in questo caso? potresti scrivere come si procede? perchè se faccio h= $\rho$cos( $\Theta$) e k=$\rho$sen($\Theta$) allora a questo punto potrei utilizzare anche la retta generica k=mh..
Se voglio maggiorare quella funzione come posso fare?
tipo una maggiorazione potrebbe anche essere : hk(h^2-k^2) ? Cosi da ottenere una funzione il cui grafico sia superiore a quella di partenza cosi vediamo che questa va a zero e per la disuguaglianza di C-S va a zero anche il limite..
Si può procedere anche in questo modo?
Se voglio maggiorare quella funzione come posso fare?
tipo una maggiorazione potrebbe anche essere : hk(h^2-k^2) ? Cosi da ottenere una funzione il cui grafico sia superiore a quella di partenza cosi vediamo che questa va a zero e per la disuguaglianza di C-S va a zero anche il limite..
Si può procedere anche in questo modo?
Ogni volta che le coordinate polari funzionano, si può arrivare allo stesso risultato senza.
La funzione del tuo esercizio è differenziabile nell'origine, quindi devi provare che quel limite sia nullo su ogni curva, ragion per cui considerare la funzione su ogni retta non basta.
Per cominciare puoi usare la semplice disuguaglianza $a <= sqrt(a^2+b^2)$ e arrivare a dire che $|hk(h^2-k^2)/(h^2+k^2)^(3/2)| <= |(h^2-k^2)/sqrt(h^2+k^2)|$.
Ora con la disuguaglianza triangolare: $|(h^2-k^2)/sqrt(h^2+k^2)| <= |h^2/sqrt(h^2+k^2)|+|k^2/sqrt(h^2+k^2)|$.
Se usi qua la disuguaglianza di prima hai finito.
La funzione del tuo esercizio è differenziabile nell'origine, quindi devi provare che quel limite sia nullo su ogni curva, ragion per cui considerare la funzione su ogni retta non basta.
Per cominciare puoi usare la semplice disuguaglianza $a <= sqrt(a^2+b^2)$ e arrivare a dire che $|hk(h^2-k^2)/(h^2+k^2)^(3/2)| <= |(h^2-k^2)/sqrt(h^2+k^2)|$.
Ora con la disuguaglianza triangolare: $|(h^2-k^2)/sqrt(h^2+k^2)| <= |h^2/sqrt(h^2+k^2)|+|k^2/sqrt(h^2+k^2)|$.
Se usi qua la disuguaglianza di prima hai finito.
Va benissimo,a me ora esce $\|1/2((h^2-k^2)/(sqrt(h^2+k^2)))|$,perchè ho utilizzato la disuguaglianza di C-S ;
Non penso che l' 1/2 sia influente dato che è una costante..comunque grazie
Non penso che l' 1/2 sia influente dato che è una costante..comunque grazie
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