Dire se una funzione è derivabile in un punto
Salve a tutti,
per vedere se una funzione è derivabile in $x_0$ è giusto come faccio?
calcolo $lim_{x to (x_0)^-}f'(x)$ e $lim_{x to (x_0)^+}f'(x)$ e poi controllo se i valori dei suddetti limiti sono finiti ed uguali allora la funzione è derivabile nel punto.
per vedere se una funzione è derivabile in $x_0$ è giusto come faccio?
calcolo $lim_{x to (x_0)^-}f'(x)$ e $lim_{x to (x_0)^+}f'(x)$ e poi controllo se i valori dei suddetti limiti sono finiti ed uguali allora la funzione è derivabile nel punto.
Risposte
In concreto è un metodo che funziona spesso, ma evidentemente non sai quello che stai facendo... Comunque, la risposta è: NO, non è giusto quello che fai. Stai implicitamente applicando un teorema, quello di Darboux, ma manca una ipotesi. Prova ad applicare questo metodo alla funzione
$f(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$;
il cui grafico è [asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-1; ymax=1; axes(); xmin=-10; xmax=0; plot("-1"); xmin=0; xmax=10; plot("1"); fill="black"; circle([0, 0], 0.1);[/asvg]
che risultato ottieni? Questo risultato è sbagliato, perché?
Vedi questo link per la teoria necessaria.
$f(x)={(1, x>0), (0, x=0), (-1, x<0):}$;
il cui grafico è [asvg]xmin=-10; xmax=10; ymin=-1; ymax=1; axes(); xmin=-10; xmax=0; plot("-1"); xmin=0; xmax=10; plot("1"); fill="black"; circle([0, 0], 0.1);[/asvg]
che risultato ottieni? Questo risultato è sbagliato, perché?
Vedi questo link per la teoria necessaria.
Però spesso funziona giusto?
Perchè ho dato un'occhiata al tuo link e purtroppo non ho tempo di scervellarmi perchè ho un mucchio di cose da fare visto che ho l'esame domani...
lo so che è una cosa sbagliatissima, ma a questo punto penso di continuare col mio metodo e sperare che vada bene ...
Perchè ho dato un'occhiata al tuo link e purtroppo non ho tempo di scervellarmi perchè ho un mucchio di cose da fare visto che ho l'esame domani...
lo so che è una cosa sbagliatissima, ma a questo punto penso di continuare col mio metodo e sperare che vada bene ...
Ma no, non è che funziona "spesso"... Funziona quando puoi applicare il teorema di Darboux, ovvero quando la funzione è continua nel punto. L'esempio che ti ho fornito è molto semplice: la derivata della $f$ a destra di $0$ è nulla, e anche la derivata a sinistra di $0$ lo è, quindi $lim_{x \to 0^{+}}f'(x)=lim_{x \to 0^{-}}f'(x)=0$ ma $f$ non è derivabile nello zero. Perché? Salta subito agli occhi: perché $f$ non è continua in $0$.
Ti conviene tenere questo esempio a mente, per non sbagliare: quando stai per applicare il teorema di Darboux, visualizzati questa funzione a gradino, e ti ricorderai che prima devi controllare la continuità.
L'alternativa ad applicare questo teorema è verificare direttamente la definizione. Calcola il rapporto incrementale a destra e a sinistra del punto $x_0$ in questione e vedi se ammettono lo stesso limite per $x\tox_0^+, x \to x_0^-$ rispettivamente. Se è così la funzione è derivabile, altrimenti non è derivabile. Questo metodo è fool-proof, non puoi sbagliare, non c'è da testare prima la continuità.
In bocca al lupo!
Ti conviene tenere questo esempio a mente, per non sbagliare: quando stai per applicare il teorema di Darboux, visualizzati questa funzione a gradino, e ti ricorderai che prima devi controllare la continuità.
L'alternativa ad applicare questo teorema è verificare direttamente la definizione. Calcola il rapporto incrementale a destra e a sinistra del punto $x_0$ in questione e vedi se ammettono lo stesso limite per $x\tox_0^+, x \to x_0^-$ rispettivamente. Se è così la funzione è derivabile, altrimenti non è derivabile. Questo metodo è fool-proof, non puoi sbagliare, non c'è da testare prima la continuità.
In bocca al lupo!
Riporto il link all'intervento di dissonance riguardo al teorema di Darboux: http://www.matematicamente.it/forum/continuita-derivabilita-t50658.html#366811
Saluti.
Saluti.
[OT darbouxiano]
Non me ne voglia matteomors, al quale in questo istante fumano già le meningi...
Aggiungo una nota a margine: l'inverso del teorema di Darboux è falso.
In altre parole, esistono funzioni continue e derivabili in tutto il loro insieme di definizione e che però hanno la derivata non continua almeno in un punto.
Ad esempio la funzione:
[tex]$f(x):=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se $x\neq 0$} \\ 0 &\text{, se $x=0$}\end{cases}$[/tex]
è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], derivabile con derivata continua in [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex], derivabile in [tex]$0$[/tex] (basta calcolare il limite del rapporto incrementale) e tale che né [tex]$\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x)$[/tex] né [tex]$\lim_{x\to 0^-} f^\prime (x)$[/tex] esistano.
[/OT]
Non me ne voglia matteomors, al quale in questo istante fumano già le meningi...
Aggiungo una nota a margine: l'inverso del teorema di Darboux è falso.
In altre parole, esistono funzioni continue e derivabili in tutto il loro insieme di definizione e che però hanno la derivata non continua almeno in un punto.
Ad esempio la funzione:
[tex]$f(x):=\begin{cases} x^2\sin \frac{1}{x} &\text{, se $x\neq 0$} \\ 0 &\text{, se $x=0$}\end{cases}$[/tex]
è continua in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], derivabile con derivata continua in [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex], derivabile in [tex]$0$[/tex] (basta calcolare il limite del rapporto incrementale) e tale che né [tex]$\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x)$[/tex] né [tex]$\lim_{x\to 0^-} f^\prime (x)$[/tex] esistano.
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