Dire se un insieme è una curva regolare
Ho riscontrato qualche difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio, e mi chiedevo se qualcuno potesse spiegarmi alcuni punti:
Sia f(x,y)= (y^4) -4xy + (x^4)
a) trovare i punti stazionari di f e dire se si tratta di massimi o minimi locali
b) determinare inf e sup
c) dire se l'insieme C={(x,y)=0} è una curva regolare. Verificare che (√2,√2)∈C e determinare la retta tangente a C in (√2,√2)
il punto a) sono riuscito a risolverlo, e ho trovato i punti P1 (0,0) P2 (-1,-1) e P3 (1,1) come punti stazionari, rispettivamente P1 punto di sella, P2=P3 punti di minimo
il punto b) sono riuscito ugualmente a risolverlo inf f = -2 e sup f = + infinito
I problemi iniziano nel punto c),
Utilizzando il teorema del Dini ho che il gradiente di f si annulla nei punti (0,0) e (-1,-1) (1,1), ma solo (0,0) appartiene alla curva, quindi la curva è regolare in ogni suo punto tranne che nell'origine, giusto? Non riesco però a verificare che (√2,√2)∈C.
Ho provato a procedere con le derivate parziali ma non riesco a concludere l'esercizio. Sapete dirmi come potrei procedere?
Grazie mille per l'aiuto
Sia f(x,y)= (y^4) -4xy + (x^4)
a) trovare i punti stazionari di f e dire se si tratta di massimi o minimi locali
b) determinare inf e sup
c) dire se l'insieme C={(x,y)=0} è una curva regolare. Verificare che (√2,√2)∈C e determinare la retta tangente a C in (√2,√2)
il punto a) sono riuscito a risolverlo, e ho trovato i punti P1 (0,0) P2 (-1,-1) e P3 (1,1) come punti stazionari, rispettivamente P1 punto di sella, P2=P3 punti di minimo
il punto b) sono riuscito ugualmente a risolverlo inf f = -2 e sup f = + infinito
I problemi iniziano nel punto c),
Utilizzando il teorema del Dini ho che il gradiente di f si annulla nei punti (0,0) e (-1,-1) (1,1), ma solo (0,0) appartiene alla curva, quindi la curva è regolare in ogni suo punto tranne che nell'origine, giusto? Non riesco però a verificare che (√2,√2)∈C.
Ho provato a procedere con le derivate parziali ma non riesco a concludere l'esercizio. Sapete dirmi come potrei procedere?
Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Ciao benvenuto sul forum
l'insieme $C$ è l'insieme dei punti $(x;y)$ tali che sostituendo i valori delle coordinate alla funzione essa vale 0?
In tal caso basta sostituire $x=sqrt2$ e $y=sqrt2$ e vedere se il valore della funzione è zero?
$f(sqrt2;sqrt2)=4-4*2+4=0$
o sbaglio?
Togli il maiuscolo dal titolo, usa il tasto modifica in alto a destra.
l'insieme $C$ è l'insieme dei punti $(x;y)$ tali che sostituendo i valori delle coordinate alla funzione essa vale 0?
In tal caso basta sostituire $x=sqrt2$ e $y=sqrt2$ e vedere se il valore della funzione è zero?
$f(sqrt2;sqrt2)=4-4*2+4=0$
o sbaglio?
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Scusate, ho corretto il titolo
Io ho pensato di usare il teorema del Dini, che afferma che se un punto (X0,Y0)∈C una delle due derivate parziali di f non si annulla ( quindi la somma delle derivate parziali è >0 ) allora la curva è regolare vicino a (X0,Y0)∈C , e in questo modo mi sono ricavato che solo (0,0) appartiene alla curva, quindi la curva è regolare in ogni suo punto tranne che nell'origine
e' così facile? Allora (√2,√2)∈C, e C è regolare vicino a (√2,√2), giusto?
Per quanto riguarda la retta tangente invece ho pensato di usare la seguente formula:
f(x,y)= f(X0,Y0) + fx(X0,Y0)(X-X0) + fy(X0,Y0)(Y-Y0)
con X0=√2 e Y0=√2
può andar bene?
Grazie per l'aiuto che mi avete dato, e mi scuso per le ulteriori domande
Io ho pensato di usare il teorema del Dini, che afferma che se un punto (X0,Y0)∈C una delle due derivate parziali di f non si annulla ( quindi la somma delle derivate parziali è >0 ) allora la curva è regolare vicino a (X0,Y0)∈C , e in questo modo mi sono ricavato che solo (0,0) appartiene alla curva, quindi la curva è regolare in ogni suo punto tranne che nell'origine
e' così facile? Allora (√2,√2)∈C, e C è regolare vicino a (√2,√2), giusto?
Per quanto riguarda la retta tangente invece ho pensato di usare la seguente formula:
f(x,y)= f(X0,Y0) + fx(X0,Y0)(X-X0) + fy(X0,Y0)(Y-Y0)
con X0=√2 e Y0=√2
può andar bene?
Grazie per l'aiuto che mi avete dato, e mi scuso per le ulteriori domande
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