Dire se la serie converge
L'esercizio che sto svolgendo è il seguente:
dire se la serie di termine generale $(n^2+5n+3)/((n)(n+1)(n+2)(n+3))$ converge e, in tal caso, calcolarne la somma.
Sinora, seguendo anche un esercizio svolto in aula, ho scomposto il termine generale in $A/n+B/(n+1)+C/(n+2)+D/(n+3)$, con
A=1/2 , B=1/20 , C=3/10 e D=-119/140.
Ora, però, non so proseguire. Lì, nell'esercizio svolto in aula, ci si riconduceva ad una serie telescopica, ma i coefficienti erano "favorevoli". In questo caso, quali considerazioni posso fare? o criteri da applicare? La serie è a termini positivi, quindi avrei l'imbarazzo della scelta. (non occorre che mi aiutiate nel calcolo della somma, perchè lì - stranamente
- non dovrei aver problemi). Vi ringrazio. Sono a vostra totale disposizione. Vorrei poter risolvere una volta per tutte una serie da solo 
p.s. asintoticamente, la serie converge perchè è equivalente alla serie 1/n^ che converge.
dire se la serie di termine generale $(n^2+5n+3)/((n)(n+1)(n+2)(n+3))$ converge e, in tal caso, calcolarne la somma.
Sinora, seguendo anche un esercizio svolto in aula, ho scomposto il termine generale in $A/n+B/(n+1)+C/(n+2)+D/(n+3)$, con
A=1/2 , B=1/20 , C=3/10 e D=-119/140.
Ora, però, non so proseguire. Lì, nell'esercizio svolto in aula, ci si riconduceva ad una serie telescopica, ma i coefficienti erano "favorevoli". In questo caso, quali considerazioni posso fare? o criteri da applicare? La serie è a termini positivi, quindi avrei l'imbarazzo della scelta. (non occorre che mi aiutiate nel calcolo della somma, perchè lì - stranamente
- non dovrei aver problemi). Vi ringrazio. Sono a vostra totale disposizione. Vorrei poter risolvere una volta per tutte una serie da solo p.s. asintoticamente, la serie converge perchè è equivalente alla serie 1/n^ che converge.
Risposte
...puoi usare la soma telescopica. Aggiungi il termine alla soma, per es: $sum(1/(n+1),n,partirà da 3?,k)= ....$
"Cauchy":
...puoi usare la soma telescopica. Aggiungi il termine alla soma, per es: $sum(1/(n+1),n,partirà da 3?,k)= ....$
ehm, si. Con la somma telescopica dovrei arrivare alla convergenza e poi al calcolo della somma della serie. Soltanto che non ho ben capito come ricondurmi.
Per esempio: nella serie di termine generale $1/(n(n+1))$ ci si riconduce alla serie telescopica: $1/n-1/(n+1)$ ma è alquanto banale. Con i miei coefficienti, però, come faccio?
Dato che in una telescopica i denominatori sono prodotto di numeri consecutivi conviene tentare
una scomposizione di questo tipo:
$a_n=A/(n(n+1))+B/((n+1)(n+2))+C/((n+2)(n+3))$
Facendo i soliti calcoli si trova che : $A=1/2,B=1,C=-1/2$ e pertanto:
$a_n=1/2*1/(n(n+1))+1/((n+1)(n+2))-1/2*1/((n+2)(n+3))
Applicando il telescopio (
) risulta:
$a_n=1/2(1/n-1/(n+1))+(1/(n+1)-1/(n+2))-1/2(1/(n+2)-1/(n+3))$
Sommando su n:
$S_n=1/2(1-1/(n+1))+(1/2-1/(n+2))-1/2(1/3-1/(n+3))$
Infine passando al limite si ha la somma S richiesta:
$S=1/2+1/2-1/6=5/6$
una scomposizione di questo tipo:
$a_n=A/(n(n+1))+B/((n+1)(n+2))+C/((n+2)(n+3))$
Facendo i soliti calcoli si trova che : $A=1/2,B=1,C=-1/2$ e pertanto:
$a_n=1/2*1/(n(n+1))+1/((n+1)(n+2))-1/2*1/((n+2)(n+3))
Applicando il telescopio (
) risulta:$a_n=1/2(1/n-1/(n+1))+(1/(n+1)-1/(n+2))-1/2(1/(n+2)-1/(n+3))$
Sommando su n:
$S_n=1/2(1-1/(n+1))+(1/2-1/(n+2))-1/2(1/3-1/(n+3))$
Infine passando al limite si ha la somma S richiesta:
$S=1/2+1/2-1/6=5/6$
ehm....quindi averla spezzata in $n$ $n+1$ $n+2$ $n+3$ è stato fuorviante? non sarei potuto arrivare allo stesso risultato? ti ringrazio.
Ci si può arrivare anche come hai fatto tu ma al prezzo di una serie molto faticosa di spezzamenti.
"silvano38":
Ci si può arrivare anche come hai fatto tu ma al prezzo di una serie molto faticosa di spezzamenti.
e in questo caso, come avrei dovuto fare per riportarmi alla tua dimostrazione? scusami se ti chiedo, ma ho il timore di non riconoscere a prima vista cose sin troppe ovvie, di perdermi in lunghi calcoli....(come ho appunto dato prova!
)
Cominciamo col dire che dei valori di A,B,C,D solo il primo è esatto ( ma come li hai trovati? )
In effetti è:
$A=1/2,B=1/2,C=-3/2,D=1/2$
Pertanto risulta:
$a_n=1/2*1/n+1/2*1/(n+1)-3/2*1/(n+2)+1/2*1/(n+3)$
che è tutt'altra cosa ( quando ho parlato di "faticosi spezzamenti" è perché davo per buoni i tuoi risultati...)
Adesso è facile scrivere $a_n$ in questo modo:
$a_n=1/2*1/n-1/2*1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)-1/2*1/(n+2)+1/2*1/(n+3)$
e raccogliendo i termini a due a due :
$a_n=1/2(1/n-1/(n+1))+1*(1/(n+1)-1/(n+2))-1/2(1/(n+2)-1/(n+3))$
che è identica a quella data da me.
)In effetti è:
$A=1/2,B=1/2,C=-3/2,D=1/2$
Pertanto risulta:
$a_n=1/2*1/n+1/2*1/(n+1)-3/2*1/(n+2)+1/2*1/(n+3)$
che è tutt'altra cosa ( quando ho parlato di "faticosi spezzamenti" è perché davo per buoni i tuoi risultati...)
Adesso è facile scrivere $a_n$ in questo modo:
$a_n=1/2*1/n-1/2*1/(n+1)+1/(n+1)-1/(n+2)-1/2*1/(n+2)+1/2*1/(n+3)$
e raccogliendo i termini a due a due :
$a_n=1/2(1/n-1/(n+1))+1*(1/(n+1)-1/(n+2))-1/2(1/(n+2)-1/(n+3))$
che è identica a quella data da me.
Non ricordo molto dell'argomento, però mi chiedo se l'idea che m'è venuta è valida.
Visto che è una serie a termini non negativi, e che il termine generale si comporta come $1/n^2$
la serie banalmente converge.
Perchè state facendo tutta questa storia?
EDIT: mi rispondo da solo..volete anche la Somma della serie
Visto che è una serie a termini non negativi, e che il termine generale si comporta come $1/n^2$
la serie banalmente converge.
Perchè state facendo tutta questa storia?
EDIT: mi rispondo da solo..volete anche la Somma della serie
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