Dire se $f(x)$ è limitata

[Navarone89]

Ciao a tutti ragazzi, questo è il mio problema.

$f(x)=(sinlnx)/(e^x-e)$

Salvo errori il suo dominio è $(0,1)uu(1,+infty)$

Dire se $f$ è limitata nel suo dominio.
Penso che per la risposta devo utilizzare il fatto che il lim per $x->+infty$ fa $0$, è possibile estendere con continuità la funzione nel punto di frontiera $x=1$, il lim per $x->0^+$ da destra è sicuramente limitato, ma indeterminato.
Come faccio a giustificare con certezza che $f$ è limitata in tutto il suo dominio?

[Noisemaker]

la funzione è sicuramente continua nel suo dominio; quando $x\to0^+$ la funzione oscilla tra due valori reali, il limite inferiore e il limite superiore

\begin{align}
\left|\frac{\sin \ln x}{e^x-e}\right|\le \frac{1}{e^x-e} \qquad&\Rightarrow\qquad -\frac{1}{e^x-e} \le\frac{\sin \ln x}{e^x-e} \le \frac{1}{e^x-e}\\
x\to0^+\qquad&\Rightarrow\qquad -\frac{1}{1-e} \le\frac{\sin \ln x}{e^x-e} \le \frac{1}{1-e}
\end{align}

quando va ad $1$ il limite vale $1/e$ mentre all'infinito come hai detto è $0$ e questo è sufficiente per concludere la limitatezza;poi si potrebbe verificare se ha un massimo o un minimo assoluto....

[Navarone89]

Ok, grazie