Dire se esiste il seguente integrale
Sia $B={(x,y)inRR^2|x^2+y^2/5<=1}$ e sia $N=(N_x,N_y)$ il vettore normale alla sua frontiera. Dire se esistono i seguenti integrali ed eventualmente calcolarli:
$int_(\delB)^()N_x "ds"$ e $int_(\delB)^()N_y "ds"$.
Non è che mi sia chiaro perché debba dire se esistono, perché mi sembra piuttosto ovvio. O forse mi sfugge qualcosa e per questo mi sembra ovvio. In ogni caso, io ho pensato che esistono perché la frontiera è una curva regolare $C^1$ e come tale il suo vettore normale esiste in ogni punto ed è dato dato $(y'(t),-x'(t))$. Perciò le componenti sono funzioni scalari continue e come tali integrabili. Quindi gli integrali curvilinei considerati esistono.
Per quanto riguarda il calcolo, ho usato il teorema della divergenza.
Se $F=(F_1,F_2)$ è un'applicazione da $B$ in $RR^2$ di classe $C^1(B)$, allora $int_(B)^()"div"F "dx""dy"=int_(\delB)^() "ds"$ (con le <> ho indicato il prodotto scalare e con N ovviamente il vettore normale).
Allora ho preso $F=(1,0)$ e $F=(0,1)$ per calcolare i due integrali rispettivamente e poiché la divergenza di quei campi è nulla, gli integrali sono nulli.
La mia domanda è questa: sto dicendo una marea di boiate, ci sono vicino o è giusto?
$int_(\delB)^()N_x "ds"$ e $int_(\delB)^()N_y "ds"$.
Non è che mi sia chiaro perché debba dire se esistono, perché mi sembra piuttosto ovvio. O forse mi sfugge qualcosa e per questo mi sembra ovvio. In ogni caso, io ho pensato che esistono perché la frontiera è una curva regolare $C^1$ e come tale il suo vettore normale esiste in ogni punto ed è dato dato $(y'(t),-x'(t))$. Perciò le componenti sono funzioni scalari continue e come tali integrabili. Quindi gli integrali curvilinei considerati esistono.
Per quanto riguarda il calcolo, ho usato il teorema della divergenza.
Se $F=(F_1,F_2)$ è un'applicazione da $B$ in $RR^2$ di classe $C^1(B)$, allora $int_(B)^()"div"F "dx""dy"=int_(\delB)^()
Allora ho preso $F=(1,0)$ e $F=(0,1)$ per calcolare i due integrali rispettivamente e poiché la divergenza di quei campi è nulla, gli integrali sono nulli.
La mia domanda è questa: sto dicendo una marea di boiate, ci sono vicino o è giusto?
Risposte
Mi sembra giusto.
Ok, ti ringrazio ancora una volta 
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