Dire per quali alpha le serie convergono
Come da titolo sto avendo difficoltà nel determinare la convergenza delle seguenti serie:
$ sum((n!*n^2)/alpha^(n^2)) $ con $ alpha>0 $ e l'indice n che va da 0 a infinito
$ sum(2^(n^(alpha^2))/(n!)) $ con $ alpha in R $ e l'indice n che va da 2 a infinito
Evidentemente sbaglio l'approccio o mi sfugge qualcosa perchè anche applicando i teoremi non ne vengo a capo.
$ sum((n!*n^2)/alpha^(n^2)) $ con $ alpha>0 $ e l'indice n che va da 0 a infinito
$ sum(2^(n^(alpha^2))/(n!)) $ con $ alpha in R $ e l'indice n che va da 2 a infinito
Evidentemente sbaglio l'approccio o mi sfugge qualcosa perchè anche applicando i teoremi non ne vengo a capo.
Risposte
Ciao nico97it,
La prima serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 0}^{+infty} frac{n^2 \cdot n!}{\alpha^{n^2}} $
ove $\alpha > 0 $. Essendo una serie a termini positivi così "a naso" direi che la serie proposta diverge per $0 < \alpha \le 1 $ e converge per $\alpha > 1 $. Per verificare se il mio naso è nel giusto, applicherei il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{(n +1)^2 (n + 1)!}{\alpha^{(n +1)^2}}}{frac{n^2 \cdot n!}{\alpha^{n^2}}} = lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot (n + 1) \cdot frac{\alpha^{n^2}}{\alpha^{(n + 1)^2}} = $
$ = lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot (n + 1) \cdot \alpha^{n^2 - (n + 1)^2} = lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot (n + 1) \cdot \alpha^{- 2n - 1} = $
$ = 1/\alpha lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot \frac{n + 1}{\alpha^{2n}} = {(0 text{ se } \alpha > 1),(+\infty text{ se } 0 < \alpha \le 1):} $
proprio come ci aveva detto il naso...
La seconda serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 2}^{+\infty} 2^(n^(alpha^2))/(n!) $
ove $\alpha \in \RR $. Si vede subito che anche questa seconda serie proposta è a termini positivi e fra l'altro $\alpha $ è elevato al quadrato. Sempre così "a naso" direi che la serie converge per $|alpha| \le 1 $ mentre è positivamente divergente negli altri casi. Prova tu a vedere se anche questa volta il mio naso è nel giusto applicando sempre il criterio del rapporto...
La prima serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 0}^{+infty} frac{n^2 \cdot n!}{\alpha^{n^2}} $
ove $\alpha > 0 $. Essendo una serie a termini positivi così "a naso" direi che la serie proposta diverge per $0 < \alpha \le 1 $ e converge per $\alpha > 1 $. Per verificare se il mio naso è nel giusto, applicherei il criterio del rapporto:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{(n +1)^2 (n + 1)!}{\alpha^{(n +1)^2}}}{frac{n^2 \cdot n!}{\alpha^{n^2}}} = lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot (n + 1) \cdot frac{\alpha^{n^2}}{\alpha^{(n + 1)^2}} = $
$ = lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot (n + 1) \cdot \alpha^{n^2 - (n + 1)^2} = lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot (n + 1) \cdot \alpha^{- 2n - 1} = $
$ = 1/\alpha lim_{n \to +\infty} (frac{n + 1}{n})^2 \cdot \frac{n + 1}{\alpha^{2n}} = {(0 text{ se } \alpha > 1),(+\infty text{ se } 0 < \alpha \le 1):} $
proprio come ci aveva detto il naso...
La seconda serie proposta è la seguente:
$ sum_{n = 2}^{+\infty} 2^(n^(alpha^2))/(n!) $
ove $\alpha \in \RR $. Si vede subito che anche questa seconda serie proposta è a termini positivi e fra l'altro $\alpha $ è elevato al quadrato. Sempre così "a naso" direi che la serie converge per $|alpha| \le 1 $ mentre è positivamente divergente negli altri casi. Prova tu a vedere se anche questa volta il mio naso è nel giusto applicando sempre il criterio del rapporto...
Grazie per la risposta.La seconda serie l'ho fatta in questo modo con il criterio della radice n-esima.
$ lim_(x -> oo ) root(n)(2^(n^(a^2))/(n!))= (2^(n^(a^2)))^(1/n)/(n/e)=(e*2^(n^(a^2)/n))/n=(e*2^(n^(a^2-1)))/n=0hArr -1
E' corretto? In questo modo se alpha soddisfa quelle condizioni il termine $ 2^(n^(a^2-1))rarr 1 $ poichè avrei $ 1/oo =0 $ al denominatore.
$ lim_(x -> oo ) root(n)(2^(n^(a^2))/(n!))= (2^(n^(a^2)))^(1/n)/(n/e)=(e*2^(n^(a^2)/n))/n=(e*2^(n^(a^2-1)))/n=0hArr -1
E' corretto? In questo modo se alpha soddisfa quelle condizioni il termine $ 2^(n^(a^2-1))rarr 1 $ poichè avrei $ 1/oo =0 $ al denominatore.
"nico97it":
Grazie per la risposta.
Prego.
"nico97it":
La seconda serie l'ho fatta in questo modo con il criterio della radice n-esima.
Sì, si può fare anche così, anche se in questo modo devi ricordarti dell'approssimazione di Stirling...
"nico97it":
E' corretto?
Vedo 3 errori:
1) Il limite è per $n \to +infty $, non per $x \to \infty $;
2) Hai dimenticato di scrivere $lim_{n \to +\infty} $ davanti a tutte le frazioni successive alla prima (dove c'è l'errore precedente);
3) Il risultato del limite è $0 $ anche se $\alpha = \pm 1 $, quindi il risultato corretto è $ - 1 \le \alpha \le 1 \iff |\alpha| \le 1 $
Nei casi particolari $\alpha = \pm 1 $ poi non è difficile scoprire che si ha:
$ sum_{n = 2}^{+\infty} 2^n/(n!) = e^2 - 3 $
Per quanto riguarda l'approssimazione di Stirling, a lezione abbiamo dimostrato che $ root(n)(n!) ~ n/e $ per $ nrarr +oo $
Invece per quanto riguarda gli altri punti, hai perfettamente ragione.
Invece per quanto riguarda gli altri punti, hai perfettamente ragione.
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