Dire dove una funzione è differenziabile e continua
Salve a tutti,
per dimostrare la continuità di una funzione in un punto verifico che $lim_{x to x_0} f(x)=lim_{x to x_0^-} f(x)=lim_{x to x_0^+}f(x) $ giusto?
Per dimostrare la derivabilità nel punto come faccio?Grazie...
per dimostrare la continuità di una funzione in un punto verifico che $lim_{x to x_0} f(x)=lim_{x to x_0^-} f(x)=lim_{x to x_0^+}f(x) $ giusto?
Per dimostrare la derivabilità nel punto come faccio?Grazie...
Risposte
per dimostrare la derivabilità devi verificare che $lim_(x->x_0^-)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=lim_(x->x_0+)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$, cioè che la derivata destra coincide con la derivata sinistra. Ovviamente tali limiti devono esistere ed essere finiti.
Sì, in effetti sono procedimenti simili.
Una piccola precisazione: per dimostrare la continuità si verifica che $f(x_0)=lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)f(x)$
Una piccola precisazione: per dimostrare la continuità si verifica che $f(x_0)=lim_(x->x_0^-)f(x)=lim_(x->x_0^+)f(x)$
Non capisco alcune cose...
$lim_{x to 0^+} e^(logx/x)$ non dovrebbe dare infinito perchè è come dire $e^infty$ ?
$lim_{x to 0^-} xsin(1/x)=sin(1/x)/(1/x)$ non è un limite notevole che fa 1?Mah...
Scusami per il primo limite ho scritto un'inesattezza...perdonami sono cotto:)...ma il secondo cosa ho sbagliato?
"matteomors":
$lim_{x to 0^-} xsin(1/x)=sin(1/x)/(1/x)$ non è un limite notevole che fa 1?Mah...
$sin(1/x)/(1/x)$ è un limite notevole quando l'argomento tende a zero. in questo caso l'argomento tende a $-infty$, perciò$x*sin(1/x)$ è il prodotto tra una quantità infinitesima (x) e una quantità limitata (perché sin(x) è compresa sempre tra -1 e 1), perciò è zero.
Spero di essermi spiegato
PS: ti capisco, non sto messo meglio...
Si si grazie sono proprio andato ormai:)
invece per le derivate calcola semplicemente quella dx e quella sn,vede che son diverse e quindi in 0 non è derivabile?
invece per le derivate calcola semplicemente quella dx e quella sn,vede che son diverse e quindi in 0 non è derivabile?
"matteomors":
invece per le derivate calcola semplicemente quella dx e quella sn,vede che son diverse e quindi in 0 non è derivabile?
Più precisamente, non esiste la derivata sinistra, perché il limite viene infinito.
Ahhh ho capito le due derivate possono anche essere diverse,l'importante è che il limite di quella destra sia uguale a quella sinistra e che siano finite. Ho capito finalmente:)?
Non possono essere diverse... devono esistere ed essere uguali...
Quindi le 2 derivate devono esistere,essere uguali e finite e allora posso dire che in quel punto la funzione è derivabile e di conseguenza continua?
Esatto. Ci sei 
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