Dirac delta e teorema di rappresentazione di riesz
Ho un dubbio. In base al teorema di rappresentazione d riesz, dato $H$ uno spazio di Hilbert , e detto $f$ un funzionale lineare e continuo su $H$ allora esiste un unico elemento $\vec v$ di $H$ tale che $f=<\vec v|\vec w> $ per ogni $\vec w \in H $
Il dubbio è: la delta di Dirac è un funzionale lineare e continuo ma contrariamente al teorema non si può trovare un elemento di $H$ che la definisca.
Cos'è che non quadra?
Il dubbio è: la delta di Dirac è un funzionale lineare e continuo ma contrariamente al teorema non si può trovare un elemento di $H$ che la definisca.
Cos'è che non quadra?
Risposte
Sei sicuro che lo spazio su cui agisce la \(\delta\) sia un Hilbert? 
Mmmh no...cioè non l'ho ben chiaro...
E' lo spazio delle funzioni di test $C_0^\infty (\mathbb R^n) $ ?
Perchè non si può far agire su uno spazio di Hilbert?
E' lo spazio delle funzioni di test $C_0^\infty (\mathbb R^n) $ ?
Perchè non si può far agire su uno spazio di Hilbert?
Quali spazi di Hilbert "concreti" conosci?
$L_2, \mathbb R^n $
Ok, prendiamo \(L^2(\mathbb{R})\), ad esempio.
Che cosa c'è lì dentro?
Che cosa c'è lì dentro?
Le funzioni con modulo quadro sommabile su $\mathbb R $ +principio di identificazione di funzioni uguali quasi ovunque + una norma che rende lo spazio completo
In realtà non ci sono proprio funzioni in \(L^2(\mathbb{R})\), ma per ora sorvoliamo e facciamo finta che gli elementi di tale spazio siano effettivamente delle funzioni.
Secondo te come sono fatte queste funzioni?
Ad esempio, sono continue? Non lo sono? Sono continue a tratti?
Insomma, com'è fatta la "tipica" funzione di \(L^2\)?
Secondo te come sono fatte queste funzioni?
Ad esempio, sono continue? Non lo sono? Sono continue a tratti?
Insomma, com'è fatta la "tipica" funzione di \(L^2\)?
mmmh...a dire il vero non ti so rispondere
Considerando che $C_0(\mathbb R) $ è un sottospazio di $L^2 (\mathbb R) $ posso pensare che in generale in $L^2 (\mathbb R) $ ci possano essere funzioni non continue, però non so dire di preciso come è fatta la tipica funzione di questo spazio...
Considerando che $C_0(\mathbb R) $ è un sottospazio di $L^2 (\mathbb R) $ posso pensare che in generale in $L^2 (\mathbb R) $ ci possano essere funzioni non continue, però non so dire di preciso come è fatta la tipica funzione di questo spazio...
Ad esempio, secondo te la funzione:
\[
f(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } 0< x \leq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è in \(L^2\)?
E la funzione di Dirichlet:
\[
d(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x\in \mathbb{Q}\\
0 &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}
\end{cases}
\]
è in \(L^2\)?
P.S.: Cosa studi?
\[
f(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } 0< x \leq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è in \(L^2\)?
E la funzione di Dirichlet:
\[
d(x):= \begin{cases} 1 &\text{, se } x\in \mathbb{Q}\\
0 &\text{, se } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}
\end{cases}
\]
è in \(L^2\)?
P.S.: Cosa studi?
Considerando la prima funzione, l'integrale del modulo quadro si riduce a
$\int_{0}^{1}1dx=1$
quindi direi che la funzione è in $L^2$,
mentre la funzione di Dirichlet è quasi ovunque nulla, l'integrale verrebbe zero e quindi anche in questo caso direi che la funzione è in $L^2$
Studio Fisica
$\int_{0}^{1}1dx=1$
quindi direi che la funzione è in $L^2$,
mentre la funzione di Dirichlet è quasi ovunque nulla, l'integrale verrebbe zero e quindi anche in questo caso direi che la funzione è in $L^2$
Studio Fisica
A posto... Quindi quelle funzioni sono in \(L^2\).
E anche la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} \frac{1}{\sqrt[3]{|x|}} -1 &\text{, se } -1\leq x <0 \text{ o } 0< x\leq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è il \(L^2(\mathbb{R})\), come puoi ben vedere.
Ora, però, come dicevo prima, le funzioni di \(L^2\) non sono proprio "funzioni".
Infatti, nella costruzione di \(L^2\) si conviene di indentificare tutte quelle funzioni che sono quasi ovunque uguali nel senso di Lebesgue usando una relazione di equivalenza (cioé l'uguaglianza quasi ovunque), sicché un elemento di \(L^2\) è una classe di equivalenza di funzioni vere e proprie.
Ad esempio, la funzione di Dirichlet, la funzione identicamente nulla e la funzione:
\[
u(x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x\in \mathcal{C}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
(in cui \(\mathcal{C}\) è un insieme di Cantor) sono tutte uguali quasi ovunque, perciò appartengono alla stessa classe di equivalenza.
Quando si dice che \(C_c(\mathbb{R})\) è contenuto in \(L^2(\mathbb{R})\), quindi, si sta commettendo un abuso di notazione; infatti, le funzioni di \(C_c\) sono vere e proprie funzioni, mentre quelle di \(L^2\), in realtà sono classi di equivalenza di funzioni.
Tuttavia l'abuso è giustificato dal fatto che si può interpretare ogni funzione di \(C_c\) come rappresentante della propria classe di equivalenza in \(L^2\).
Torniamo al problema dell'estensione della \(\delta\). Il discorso che farò sarà molto qualitativo.
Possiamo pensare di definire un'estensione di \(\delta\) su \(L^2\) come segue: se \(f\) è una classe di equivalenza di funzioni in \(L^2\) e se \(f\) contiene una funzione continua, allora il valore \(\delta (f)\) coincide col valore di \(\delta \) calcolato sul rappresentante continuo di \(f\).
Però, qui nasce un problema... Infatti, non tutte le funzioni di \(L^2\) hanno un rappresentante continuo!
Prendi, ad esempio, la funzione \(f(x)\) citata all'inizio. Essa è certamente un rappresentante di una classe di equivalenza appartenente ad \(L^2\); se chiamiamo \(\tilde{f}\) tale classe, è possibile provare che non esiste alcuna funzione appartenente ad \(\tilde{f}\) che sia continua.
Quindi il nuovo funzionale \(\delta\) certamente non è definito su tutto \(L^2\).
Allora potremmo chiederci se è possibile definire in \(L^2\) un'estensione di \(\delta\) usando un altro metodo.
Ad esempio, sappiamo che ogni funzione di \(L^2\) si può approssimare in norma con funzioni di \(C_c\); quindi verrebbe naturale pensare ad un'estensione "per continuità", i.e. nel definire:
\[
\delta (f) = \lim_n \delta (f_n)
\]
per una qualsiasi successione \((f_n)\subset C_c\) che tenda a \(f\) in norma \(L^2\).
Purtroppo, però, nemmeno questo funziona.
Infatti, se \(f\) è sempre quella dell'inizio, essa può essere approssimata dalle sue troncate:
\[
f_n(x) := \min \{f(x) , n\}
\]
in norma \(L^2\); ma tali troncate hanno \(\delta (f_n) = f_n(0)=n\) e si vede che:
\[
\lim_n \delta (f_n) = +\infty
\]
e porre \(\delta(f)=+\infty\) non ha alcun senso se si vuole costruire un funzionale lineare limitato (i.e., se si vuole che \(|\delta(f)|\leq C\ \| f\|_2 \)).
Un altro modo di definire un funzionale su \(L^2\) potrebbe essere quello di pensarlo "rappresentato" al modo che figura nel teorema di Riesz.
Tuttavia, si prova che ciò non è possibile. Questa impossibilità non dipende dalle proprietà \(L^2\), ma dal fatto che \(\delta\) è naturalmente definita in \(C_c\) e già in \(C_c\) questa impossibilità è sancita; in altri termini, è la struttura non-hilbertiana di \(C_c\) a creare problemi di rappresentabilità à la Riesz, non quella di \(L^2\).
Insomma, per farla breve, la \(\delta\) non si può definire su \(L^2\) per tre motivi: 1) parlare di valori puntuali di funzioni sommabili non ha alcun senso (perché non tutte le funzioni di \(L^2\) hanno rappresentanti continui); 2) non si può pensare di conservare la continuità dell'operatore nel passaggio da \(C_c\) a \(L^2\); 3) \(C_c\) non è un sottospazio "buono" di \(L^2\) (è troppo piccolo).
E anche la funzione:
\[
f(x) := \begin{cases} \frac{1}{\sqrt[3]{|x|}} -1 &\text{, se } -1\leq x <0 \text{ o } 0< x\leq 1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è il \(L^2(\mathbb{R})\), come puoi ben vedere.
Ora, però, come dicevo prima, le funzioni di \(L^2\) non sono proprio "funzioni".
Infatti, nella costruzione di \(L^2\) si conviene di indentificare tutte quelle funzioni che sono quasi ovunque uguali nel senso di Lebesgue usando una relazione di equivalenza (cioé l'uguaglianza quasi ovunque), sicché un elemento di \(L^2\) è una classe di equivalenza di funzioni vere e proprie.
Ad esempio, la funzione di Dirichlet, la funzione identicamente nulla e la funzione:
\[
u(x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x\in \mathcal{C}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
(in cui \(\mathcal{C}\) è un insieme di Cantor) sono tutte uguali quasi ovunque, perciò appartengono alla stessa classe di equivalenza.
Quando si dice che \(C_c(\mathbb{R})\) è contenuto in \(L^2(\mathbb{R})\), quindi, si sta commettendo un abuso di notazione; infatti, le funzioni di \(C_c\) sono vere e proprie funzioni, mentre quelle di \(L^2\), in realtà sono classi di equivalenza di funzioni.
Tuttavia l'abuso è giustificato dal fatto che si può interpretare ogni funzione di \(C_c\) come rappresentante della propria classe di equivalenza in \(L^2\).
Torniamo al problema dell'estensione della \(\delta\). Il discorso che farò sarà molto qualitativo.
Possiamo pensare di definire un'estensione di \(\delta\) su \(L^2\) come segue: se \(f\) è una classe di equivalenza di funzioni in \(L^2\) e se \(f\) contiene una funzione continua, allora il valore \(\delta (f)\) coincide col valore di \(\delta \) calcolato sul rappresentante continuo di \(f\).
Però, qui nasce un problema... Infatti, non tutte le funzioni di \(L^2\) hanno un rappresentante continuo!
Prendi, ad esempio, la funzione \(f(x)\) citata all'inizio. Essa è certamente un rappresentante di una classe di equivalenza appartenente ad \(L^2\); se chiamiamo \(\tilde{f}\) tale classe, è possibile provare che non esiste alcuna funzione appartenente ad \(\tilde{f}\) che sia continua.
Quindi il nuovo funzionale \(\delta\) certamente non è definito su tutto \(L^2\).
Allora potremmo chiederci se è possibile definire in \(L^2\) un'estensione di \(\delta\) usando un altro metodo.
Ad esempio, sappiamo che ogni funzione di \(L^2\) si può approssimare in norma con funzioni di \(C_c\); quindi verrebbe naturale pensare ad un'estensione "per continuità", i.e. nel definire:
\[
\delta (f) = \lim_n \delta (f_n)
\]
per una qualsiasi successione \((f_n)\subset C_c\) che tenda a \(f\) in norma \(L^2\).
Purtroppo, però, nemmeno questo funziona.
Infatti, se \(f\) è sempre quella dell'inizio, essa può essere approssimata dalle sue troncate:
\[
f_n(x) := \min \{f(x) , n\}
\]
in norma \(L^2\); ma tali troncate hanno \(\delta (f_n) = f_n(0)=n\) e si vede che:
\[
\lim_n \delta (f_n) = +\infty
\]
e porre \(\delta(f)=+\infty\) non ha alcun senso se si vuole costruire un funzionale lineare limitato (i.e., se si vuole che \(|\delta(f)|\leq C\ \| f\|_2 \)).
Un altro modo di definire un funzionale su \(L^2\) potrebbe essere quello di pensarlo "rappresentato" al modo che figura nel teorema di Riesz.
Tuttavia, si prova che ciò non è possibile. Questa impossibilità non dipende dalle proprietà \(L^2\), ma dal fatto che \(\delta\) è naturalmente definita in \(C_c\) e già in \(C_c\) questa impossibilità è sancita; in altri termini, è la struttura non-hilbertiana di \(C_c\) a creare problemi di rappresentabilità à la Riesz, non quella di \(L^2\).
Insomma, per farla breve, la \(\delta\) non si può definire su \(L^2\) per tre motivi: 1) parlare di valori puntuali di funzioni sommabili non ha alcun senso (perché non tutte le funzioni di \(L^2\) hanno rappresentanti continui); 2) non si può pensare di conservare la continuità dell'operatore nel passaggio da \(C_c\) a \(L^2\); 3) \(C_c\) non è un sottospazio "buono" di \(L^2\) (è troppo piccolo).
Ok, in linea generale penso di aver capito, e ti ringrazio per la notevole risposta che mi hai dato.
Toglimi un ultimo dubbio. Quando in Fisica, ad esempio in meccanica quantistica, la delta di Dirac viene fatta agire su uno spazio di Hilbert come $L^2$, lo si può fare perchè si suppone implicitamente che in Fisica si lavori con funzioni continue? (In modo che l'applicazione della delta coincida con il valore della delta calcolato su un rappresentante continuo della classe di equivalenza?)
Toglimi un ultimo dubbio. Quando in Fisica, ad esempio in meccanica quantistica, la delta di Dirac viene fatta agire su uno spazio di Hilbert come $L^2$, lo si può fare perchè si suppone implicitamente che in Fisica si lavori con funzioni continue? (In modo che l'applicazione della delta coincida con il valore della delta calcolato su un rappresentante continuo della classe di equivalenza?)
Sinceramente, non ho mai visto usare la \(\delta\) come funzionale definito su \(L^2\).
Dove l'hai letta questa cosa?
Dove l'hai letta questa cosa?
Ad esempio, data $\psi (x)$ una qualsiasi funzione appartenente allo spazio di Hilbert delle funzioni d'onda (che sono funzioni a quadrato sommabile), solitamente si scrive che
$\psi (x)=\int \psi(x_0)\delta_{x_0} (x) dx_0 $
Quindi in sostanza in questo caso si sta applicando la delta ad una funzione di $L^2$, no?
$\psi (x)=\int \psi(x_0)\delta_{x_0} (x) dx_0 $
Quindi in sostanza in questo caso si sta applicando la delta ad una funzione di $L^2$, no?
Insomma vuoi usare la \(\delta\) per rappresentare una \(\psi\).
Facciamo finta che \(\psi\) sia continua, così da non avere problemi; in tal caso, se \(\delta_x\) rappresenta la misura di Dirac centrata in \(x\) hai (con evidentissimo abuso di notazione!!!):
\[
\psi (x) = \int_{-\infty}^\infty \psi (y)\ \delta_x(y)\ \text{d} y = \int_{-\infty}^\infty \psi (y)\ \delta (y-x)\ \text{d} y
\]
quindi i tuoi \(x\) ed \(x_0\) nella tua \(\delta\) andrebbero scambiati... Tuttavia, la \(\delta\) ha una sorta di simmetria, quindi dovrebbe andar bene anche la scrittura che proponi.
Tuttavia, l'ipotesi di continuità mi sembra imprescindibile se si vuole applicare la \(\delta\), a meno che il ragionamento portato avanti non debba essere inteso valido quasi ovunque; in tal caso, potrei pure essere convinto della ragionevolezza del procedimento, perché, se non erro, ogni funzione di \(L^2\) ha almeno un rappresentante q.o. continuo.
Però questa cosa è un po' delicata e non riesco a ricostruirla adesso... Ci dovrei pensare un po'.
Facciamo finta che \(\psi\) sia continua, così da non avere problemi; in tal caso, se \(\delta_x\) rappresenta la misura di Dirac centrata in \(x\) hai (con evidentissimo abuso di notazione!!!):
\[
\psi (x) = \int_{-\infty}^\infty \psi (y)\ \delta_x(y)\ \text{d} y = \int_{-\infty}^\infty \psi (y)\ \delta (y-x)\ \text{d} y
\]
quindi i tuoi \(x\) ed \(x_0\) nella tua \(\delta\) andrebbero scambiati... Tuttavia, la \(\delta\) ha una sorta di simmetria, quindi dovrebbe andar bene anche la scrittura che proponi.
Tuttavia, l'ipotesi di continuità mi sembra imprescindibile se si vuole applicare la \(\delta\), a meno che il ragionamento portato avanti non debba essere inteso valido quasi ovunque; in tal caso, potrei pure essere convinto della ragionevolezza del procedimento, perché, se non erro, ogni funzione di \(L^2\) ha almeno un rappresentante q.o. continuo.
Però questa cosa è un po' delicata e non riesco a ricostruirla adesso... Ci dovrei pensare un po'.
"gugo82":
[...] potrei pure essere convinto della ragionevolezza del procedimento, perché, se non erro, ogni funzione di \(L^2\) ha almeno un rappresentante q.o. continuo.
Davvero? Cioè stai dicendo che ogni $f \in L^2$ è uguale q.o. a una funzione q.o. continua? Ma è vero in dimensione qualsiasi o solo in dimensione 1?
Se è vero, è una proprietà interessante, da tenere a mente. Noto, tra l'altro, che se anche la derivata prima è in $L^2$ allora vale qualcosa di più, nel senso che ogni $f \in H^1=W^{1,2}$ è uguale q.o. a funzione continua (non solo continua q.o.) (in realtà, questo vale per ogni funzione $W^{1,p}(I)$, con $I$ intervallo aperto di $RR$).
@ Paolo90: In verità, non ne sono affatto sicuro... Probabilmente mi sto confondendo con funzioni integrabili secondo Riemann. Prova a documentarti un po', che hai fonti attendibili sotto mano.
"gugo82":
quindi i tuoi \( x \) ed \( x_0 \) nella tua \( \delta \) andrebbero scambiati... Tuttavia, la \( \delta \) ha una sorta di simmetria, quindi dovrebbe andar bene anche la scrittura che proponi.
Non la propongo io questa scrittura, ma certi testi di MQ...
Comunque ho trovato sul primo volume del libro di MQ del Cohen questo riferimento:
"We can only retain the functions $\psi (\vec r,t)$ which are everywhere defined,continuous, and infinitely differentiable. It is also possible to confine ourselves to wave functions which have a bounded domain (which makes it certain that the particle can be found within a finite region of space, fo example inside the laboratory). We shall not try to give a precise, general list of these supplementary conditions: we shall call $F$ the set of wave functions composed of sufficiently regular functions of $L^2$ ($F$ is a subspace of $L^2$)."
E qualche pagina dopo:
"Consider the following relations, which are valid for every function $\psi (\vec r)$ belonging to $F$:
$\psi (\vec r)=\int d^3r_0\psi(\vec {r_0} )\delta (\vec r -\vec {r_0})$
$\psi (\vec r_0)=\int d^3r\delta (\vec {r_0} -\vec {r})\psi(\vec {r} )$ "
Oppure sul Dirac ho trovato che:
" $f(a)=\int f(x)\delta (x-a)dx$
where $f(x)$ is any continuous function of $x$"
In ogni caso, non penso che la continuità di una funzione sia sufficiente per giustificare l'applicazione della delta in $L^2$. Però penso anche che che non necessariamente le funzioni d'onda debbano appartenere allo spazio di definizione della delta, quindi essere a supporto compatto e infinitamente differenziabili...
Il passaggio, come immaginavo, ti sta dicendo che non stai applicando la \(\delta\) ad una qualsiasi funzione di \(L^2\); bensì la stai applicando solo alle \(\psi\) appartenenti a \(C_c^\infty\), che è un sottospazio molto piccolo di \(L^2\).
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