Dipendenza continua di una radice dai coefficienti polinomia
C'è un modo semplice ed immediato di dimostrare che la radice di un polinomio dipende con continuità dai coefficienti?
Qualche dettaglio: ho $Q(\eta,\lambda)$ un polinomio omogeneo in $\eta\in\RR^n$, $\lambda\in\R$. Assegno gli $n$ parametri corrispondenti ad $\eta$, e voglio provare che i lambda ottenuti imponendo l'equazione $Q(eta,lambda)=0$ (Che so esistere, ed essere tutti reali, per altre ipotesi) dipendono con continuità dalla scelta degli $eta$. Come si può fare?
Ad occhio e croce direi un teorema di invertibilità locale, ma non so..
Qualche dettaglio: ho $Q(\eta,\lambda)$ un polinomio omogeneo in $\eta\in\RR^n$, $\lambda\in\R$. Assegno gli $n$ parametri corrispondenti ad $\eta$, e voglio provare che i lambda ottenuti imponendo l'equazione $Q(eta,lambda)=0$ (Che so esistere, ed essere tutti reali, per altre ipotesi) dipendono con continuità dalla scelta degli $eta$. Come si può fare?
Ad occhio e croce direi un teorema di invertibilità locale, ma non so..
Risposte
Sì, un th del Dini applicato nel modo giusto credo che risponda alla domanda....
Mi ricordo di aver letto qualcosa su questo fatto nell'ambito del calcolo numerico (si usa in correlazione con i cerchi di Gerschgorin per la localizzazione degli autovalori). Ho fatto una piccola ricerca e ho trovato questo; il risultato viene dimostrato usando tecniche di analisi complessa. Vedi un po' se ti soddisfa, altrimenti tiro giù il Bini-Capovani-Menchi e guardo lì.
"dissonance":
Mi ricordo di aver letto qualcosa su questo fatto nell'ambito del calcolo numerico (si usa in correlazione con i cerchi di Gerschgorin per la localizzazione degli autovalori). Ho fatto una piccola ricerca e ho trovato questo; il risultato viene dimostrato usando tecniche di analisi complessa. Vedi un po' se ti soddisfa, altrimenti tiro giù il Bini-Capovani-Menchi e guardo lì.
Ricordi molto bene, infatti a pag. 79 si dice proprio che "gli zeri di un polinomio sono funzioni continue dei coefficienti" e rimanda al
libro "Analysis of Numerical Methods" di E. Isaacson e H.B. Keller.
PS: Il Prof. Bini è stato il mio relatore.
Un esempio di studio in questo senso, usando il teorema di Dini, lo trovi in questo mio "registro delle lezioni".
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... 009_10.pdf
Più precisamente è in una "NOTA" alla lezione di Ve 13 novembre.
C'è l'esempio di un piano di finanziamento e di ricerca del TIR.
PS: corretto link il 11 giugno 2012
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... 009_10.pdf
Più precisamente è in una "NOTA" alla lezione di Ve 13 novembre.
C'è l'esempio di un piano di finanziamento e di ricerca del TIR.
PS: corretto link il 11 giugno 2012
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