Dini : correzione esercizio

[previ91]

Ciao a tutti , volevo chiedervi cosa ne pensate di questo esercizio :
"Stabilire se l’equazione $y^3 +(x^2 +1)y−x^2 =0$ definisce, in un intorno di (0,0), una funzione di classe $C^infty$, $y = Phi(x)$. Tracciare un grafico qualitativo della funzione $Phi$ in un intorno del punto x = 0."

Vi spiego come ho ragionato : ho dimostrato che il teorema di Dini è applicabile a questo problema e poi derivando più volte la funzione $f(x,Phi(x))$ ho scritto il polinomio di Taylor al secondo ordine anche se potevo proseguire. Può andare?

In caso di conferma vi scrivo anche lo svolgimento

[Seneca1]

Certo.

[previ91]

Ecco il procedimento :

* Applicabilità teorema di Dini :
$f(0,0)=0$

$(partial f)/(partial y) (0,0) =1 != 0$

Esiste una funzione $y=Phi(x)$ tale che $f(x,Phi(x))=0$.

*Derivo
Per prima cosa riporto una piccolo passaggio di cui non sono certo , ma svolto dal mio professore in un altro esercizio : poichè $f(0,0)=0$ e $f(0,Phi(0))=0$ poichè $Phi(x)$ è unica allora $Phi(0)=0$.

Detto questo poichè $f(x,Phi(x))=0$ anche le sue derivate saranno costantemente uguali a zero ; scrivo la derivata prima :

$3Phi^2 (x) Phi' (x) + 2x Phi(x) + (x^2 +1) Phi ' (x) -2x = 0.$

E se la calcolo in $x=0$ ottengo che $Phi ' (0) =0$.

Ora calcolo la derivata seconda :

$6Phi (x) (Phi' (x))^2 + 3x Phi^2 (x) Phi'' (x) + 2 Phi(x) + 2x Phi ' (x) + 2x Phi ' (x) + (x^2 +1) Phi '' (x) -2 = 0 $ (spero di averla scritta giusta)

Che calcolata in $x=0$ mi da $Phi '' (0) = 2$

* Sviluppo di Taylor

$Phi (x) = 2x^2 + o(x^2)$

Quindi una grafico approssimativo in un intorno di (0,0) è una parabola positiva rivolta verso l'alto.

[previ91]

Aspetto un commento @Seneca quando puoi grazie!